Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

Hamilton Luiz Guidorizzi, Cálculo Volume 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: 2008, pp. 479-2. MODIFICADO

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2 , avalie o erro.

  cos ( 0.2 )

Passo 1

Podemos considerar a função: f x = cos ( x )

Nessas condições, um bom ponto para aproximar isso aí é o ponto x = 0 , já que f ( 0 ) está próximo de cos ( 0.2 ) .

Para a ordem 2 pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:

E x = f ' ' ' c 3 ! x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para substituir, derivamos 3 vezes:

f ' x = - sin x

f ' ' x = - cos x

f ' ' ' x = sin ( x ) f ' ' ' c = sin ( c )

Substituindo:

E x = sin c 6 x 3

Para a distância escolhida:

E 0.2 = sin c 6 0.2 3

Passo 3

Temos que 0 < c < 0.2 , então:

sin 0 6 0.2 3 < E 0.2 < sin 0.2 6 0.2 3

0 < E 0.2 < 0.000264892

É um erro bem, bem pequeno.

Resposta

0 < E 0.2 < 0.000264892

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