Exercícios Resolvidos de Escalas de Temperatura

A coluna de um termômetro de mercúrio tem 1   c m quando a temperatura é 31   ° C e 7   c m quando a temperatura é 35   ° C . Que comprimento terá quando temperatura for 39   ° C ?

(a) 12   c m

(b) 11   c m

(c) 13   c m

(d) 14   c m

(e) 5,33   c m

Passo 1

Vamos relembrar primeiro alguns detalhes sobre os termômetros de mercúrio.Um termômetro de mercúrio é um dispositivo em geral formato cilíndrico, feito na maioria das vezes de vidro e metal, que possui uma escala de temperatura, na qual o mercúrio (dentro do cilindro de vidro) indica a temperatura do corpo em questão. Veja a figura abaixo.

O termômetro funciona assim: a parte metálica na ponta do termômetro é colocada em contato com o corpo que se deseja medir a temperatura. Espera-se certo um tempo até a ponta metálica e o corpo entrarem em equilíbrio térmico. Dentro da ponta metálica, existe um bulbo com um quantidade de mercúrio. A mudança de temperatura na ponta metálica (até entrar em equilíbrio térmico) faz com que o mercúrio dilate até a parte do termômetro que contém a escala graduada de temperatura. Quando o conjunto corpo + ponta metálica + mercúrio entra em equilíbrio térmico, a expansão do mercúrio se encerra e a posição final da coluna de mercúrio na escala graduada indica a temperatura do corpo.

A grande sacada do funcionamento do termômetro é a dilatação do mercúrio. É esse fenômeno que rege o funcionamento do termômetro.

Já que falamos em dilatação, podemos nos perguntar “Qual é a equação que fornece a dilatação do mercúrio?” Como o mercúrio basicamente expande apenas em uma direção (dentro do tubo), então, se L f é o tamanho da coluna de mercúrio a uma temperatura T f , a equação para a dilatação do mercúrio é

L f - L 0 = Δ L = L 0 α H g ( T f - T i )

sendo α H g o coeficiente de dilatação linear do mercúrio e L 0 o tamanho da coluna de mercúrio a uma temperatura T i . Tanto L 0 quanto T i são ajustados na fábrica para fazer o regulamento correto da escala graduada de temperatura do termômetro.

Desta forma, podemos escrever a equação anterior assim

L f =   L 0 + L 0 α H g T f - L 0 α H g T i

L f = L 0 α H g T f + L 0 -   L 0 α H g T i

Note que a equação anterior tem a forma

L f T f = A T f + B

isto é, temos que o tamanho L f obedece a uma relação linear com a temperatura T f .E agora resolvemos o nosso problema! (COMO ASSIM?!?!) Vou explicar 😊

O enunciado fornece o tamanho da coluna de mercúrio para duas temperaturas diferentes. Assim, podemos utilizar esses valores para determinar as constantes A e B lá da relação linear entre L f e T f . Sabendo A e B , podemos determinar qualquer tamanho da coluna de mercúrio sabendo a temperatura dela. Viu? Agora, no próximo passo vamos determinar essas constante A e B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora determinar as constantes A e B .O enunciado diz que quando T f = 31   ° C , então L f = 1   c m . Deste modo, temos que

L f T f = A T f + B           →           1   c m = A × 31   ° C + B

31   ° C A + B = 1   c m

Vamos guardar essa equação.

Agora, o enunciado também diz que quando T f = 35   ° C , então L f = 7   c m . Deste modo, temos que

L f T f = A T f + B           →           7   c m = A × 35   ° C + B

35   ° C A + B = 7   c m

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas

31   ° C A + B = 1   c m 35   ° C A + B = 7   c m

Para resolver esse tipo de sistema, existe diversas formas. A que vou usar é isolar B em uma das equações e substituir na outra.

Pela primeira equação,

31   ° C A + B = 1   c m                     ↔                     B = 1   c m - 31   ° C A

Substituindo na segunda equação, temos que

35   ° C A + B = 7   c m                               ↔                               35   ° C A + 1   c m - 31   ° C A = 7   c m

35   ° C - 31 ° C A = 7   c m - 1 c m                                         ↔                                         4   ° C A = 6   c m

A = 1,5   c m / ° C

Agora que determinamos A , podemos substituir na equação para B .

B = 1 c m - 31   ° C A                     ↔                     B = 1 c m - 31   ° C × 1,5   c m / ° C

B =   - 45,5   c m

Assim, a relação linear entre o tamanho da coluna de mercúrio e a temperatura do mesmo é

L f T f = 1,5   c m / ° C T f - 45,5   c m

Agora, no próximo passo, vamos finalmente resolver nosso problema.

Passo 3

Mostramos no passo anterior que o tamanho final da coluna de mercúrio em função da temperatura da mesma é

L f T f = 1,5   c m / ° C T f - 45,5   c m

O enunciado pede para determinarmos o tamanho da coluna de mercúrio quando a temperatura for T f = 39   ° C . Desta forma, temos que

L f 39   ° C =   1,5   c m / ° C × ( 39   ° C ) - 45,5   c m

L f 39   ° C = 58,5   c m - 45,5   c m = 13   c m

Portanto, o tamanho da coluna de mercúrio quando a mesma tem uma temperatura de 39   ° C é 13   c m .

Passo 4

Analisando todas as alternativas, vemos a que alternativa correta é a letra ( c ) .

Resposta

L e t r a   ( c ) .

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