Exercícios Resolvidos de Escoamento sobre uma Esfera

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Enunciado

Considere uma esfera oca em que a temperatura da superfície interna é de 100 ° C e do ar exterior é de 20 ° C . No exterior, existe um escoamento que está a uma velocidade de 80   m / s .

Qual a temperatura da face externa do isolamento assumindo que o isolante possui 2 mm de espessura?

Considerar que a esfera oca seja feita de cobre com raio interno de 10   m m e espessura de 5   m m . Admita também que a condutividade térmica do material isolante seja constante e dada por k = 0,32   W / ( m . ° C ) . Assuma também que o cobre tem uma condutividade térmica constante e dada pelo seu valor a 100 ° C .

As propriedades termofísicas do ar são dadas pela tabela. Suponha μ / μ s = 1 nesse caso.

Passo 1

Pra calcular a temperatura da superfície externa de isolamento, podemos utilizar a expressão da taxa de transferência de calor entre o ar e a superfície externa do isolante:

q = h - D . A i s o , e . T i s o , e - T ∞

Onde a taxa de transferência de calor pode ser calculada utilizando o conceito de resistência térmica. Como temos as temperaturas da superfície interna da esfera e do ar exterior:

q = T i n t - T ∞ 1 h - D . A + 1 4 π . k i s o   1 r i s o , i - 1 r i s o , e + 1 4 π . k C u   1 r i n t - 1 r i s o , i

Ainda assim, vamos precisar do coeficiente convectivo. Então a estratégia aqui será:

  1. Calculamos o coeficiente convectivo;
  2. Calculamos a taxa de transferência de calor;
  3. Calculamos a temperatura da superfície externa do isolante.

Passo 2

Antes de seguir em frente, precisamos determinar as propriedades do fluido nas temperaturas de referência ( T ∞ , para todas as propriedades, e T s para μ s ) .

A T ∞ = 2 0 ° C = 29 3 K , de acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,709

k = 0,0 257   W / ( m . K )

υ = 15,27 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 3

Agora que já sabemos os valores das propriedades, podemos calcular o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 80 × 0,034 15,27 × 10 - 6 → R e D = 1,78 × 10 5

Substituindo os valores, onde μ /   μ s = 1 :

N u - D = 2 + 0,4 × 1,78 × 10 5 1 / 2 + 0,06 × 1,78 × 10 5 2 / 3 × 0,709 0,4 . 1 1 / 4

N u - D = 316,7

h - D = N u - D . k D = 316,7 × 0,0257 0,034

h - D = 239,4   W / ( m 2 . K )

Passo 4

A taxa de transferência de calor será:

q = T i n t - T ∞ 1 h - D . A + 1 4 π . k i s o   1 r i s o , i - 1 r i s o , e + 1 4 π . k C u   1 r i n t - 1 r i s o , i

Onde a condutividade térmica do cobre vale k C u = 410   W / m K . Pra não ficar uma conta absurdamente grande, vou calcular cada resistência térmica separadamente. Logo:

1 h - D . A = 1 239,4 × 4 π × 0,017 2 = 1,15   ° C / W

1 4 π . k i s o   1 r i s o , i - 1 r i s o , e = 1 4 π × 0,32 × 1 0,015 - 1 0,017 = 1,95   ° C / W

1 4 π . k C u   1 r i n t - 1 r i s o , i = 1 4 π × 410 × 1 0,01 0 - 1 0,01 5 = 0,0065   ° C / W

Dessa forma:

q = 100 - 20 1,15 + 1,95 + 0,0065

q = 25,75   W

Passo 5

Finalmente, a temperatura na superfície externa de isolamento será:

q = h - D . A i s o , e . T i s o , e - T ∞

T i s o , e = T ∞ + q h - D . A i s o , e

Substituindo os valores:

T i s o , e = 20 + 25,75 239,4 × 4 π × 0,017 2

Resposta

T i s o , e = 49,62   ° C

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