Exercícios Resolvidos de Escoamento sobre uma Esfera

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Enunciado

Uma junta de termopar esférica, com 1,0   m m de diâmetro, é inserida no interior de uma câmara de combustão para medir a temperatura T ∞ dos produtos de combustão. Os gases quentes possuem uma velocidade de V = 5   m / s .

Se o termopar estiver a temperatura ambiente T i quando for inserido na câmara, estime o tempo necessário para que a diferença de temperaturas T ∞ - T atinja 2 % da diferença de temperaturas inicial T ∞ - T i .

Despreze os efeitos da radiação e da condição através dos terminais do termopar. As propriedades da junta do termopar podem ser aproximadas por k = 100   W / ( m . K ) , c p = 385   J / ( k g . K ) e ρ = 8920   k g / m 3 , e as dos gases de combustão por k = 0,05   W / ( m . K ) , υ = 50 × 10 - 6   m 2 / s e P r = 0,69 . Considere μ / μ s = 1 .

Passo 1

Para estimarmos o tempo para que a temperatura decaia, precisamos resolver um problema de condução transiente. No entanto pra resolver esse problema, precisamos calcular o coeficiente convectivo.

Para isso, precisamos começar calculando o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 5 × 0,001 50 × 10 - 6 → R e D = 100

Substituindo os valores:

N u - D = 2 + 0,4 × 100 1 / 2 + 0,06 × 100 2 / 3 × 0,69 0,4 × 1 1 / 4

N u - D = 6,56

Passo 2

O coeficiente convectivo médio é dado por:

h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 6,56 × 0,05 0,001 → h - = 328   W / ( m 2 . K )

Passo 3

Agora podemos tratar do problema de condução transiente. Então, logo de cara, vamos calcular o número de Biot pra saber se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados:

B i = h - . L c k = h - . D 6 k

B i = 328 × 0,001 6 × 100 → B i = 5,47 × 10 - 4 < 0,1

Opa! Podemos usar o Método dos Parâmetro Concentrados sem peso na consciência. Assim o tempo necessário para o resfriamento será dado por:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Onde V / A = D / 6 , θ i = T i - T ∞ e θ t = T f - T ∞ . Logo:

t = ρ . D . c p 6 h - . ln ⁡ T i - T ∞ T f - T ∞

Substituindo os valores:

t = 8920 × 0,001 × 385 6 × 328 × ln ⁡ T i - T ∞ 0,02 T i - T ∞

t = 1,745 × ln ⁡ 1 0,02 = 1,745 × ln ⁡ 50

Resposta

t = 6,38   s

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