Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Este modelo probabilístico (paramétrico) é uma variável aleatória discreta, que modela um experimento em “ n ” repetições de uma Bernoulli até atingir o 1º sucesso.

Pergunta-se:

Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, mostrar todos os passos da solução.

Passo 1

Primeira pergunta: que modelo probabilístico é esse? Lembra?

É o modelo geométrico, que tem a seguinte função de probabilidade:

P X = x = p 1 - p x - 1

Beleza?

É a partir disso que vamos estimar o parâmetro p desse modelo. Primeiro, substituímos ele por uma estimativa θ .

P X = x = θ . 1 - θ x - 1

Passo 2

Agora calculamos L ( θ ) .

L θ = ∏ i = 1 n θ . 1 - θ x - 1

Multiplicando n vezes um mesmo θ , temos θ n . A mesma ideia pode ser aplicada a outra parte da função, ficaríamos com:

L θ = θ n . 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n

Passo 3

Calculamos ln ⁡ L θ .

ln ⁡ L θ = ln ⁡ ( θ n . 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n )

= ln ⁡ θ n + ln ⁡ 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n

= n . ln ⁡ θ + ∑ i = 1 n x i - n × ln ⁡ 1 - θ

Passo 4

Calcular a derivada desse l n em função do parâmetro estimado θ .

d ln ⁡ L θ d θ = n θ + n - ∑ i = 1 n x i 1 - θ

E igualamos essa derivada a zero para calcular o estimador de máxima verossimilhança.

- n θ = n - ∑ x i 1 - θ

- n + n θ = n θ - θ ∑ x i

n - θ ∑ x i = 0

θ = n ∑ x i    

Ou seja...

θ = 1 X ¯

Podemos substituir θ por θ M V , já que esse é o estimador de máxima verossimilhança.

θ M V = 1 X ¯

Resposta

θ M V = 1 X ¯

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