Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicado. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra de n sindicalizados e estão previstas N repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitores favoráveis a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução.

Passo 1

Eu não conheço a probabilidade de cada sindicalizado escolher o candidato, vou chamar de p .

Vou ter que entrevistar n sindicalizados, cada um com a mesma probabilidade p de escolher o candidato... isso tem cara de que? Binomial, concorda? Os parâmetros que a gente tem na binomial são exatamente, n e p .

X   ~   B i n o m i a l   n , p

No caso, n   a gente “conhece”, o parâmetro desconhecido que a gente precisa estimar é o p .

Vou chamar ele de θ então...

X   ~   B i n   n ,   θ

Passo 2

Agora sim, vamos fazer o estimador de máxima verossimilhança pra esse parâmetro desconhecido.

Primeiro precisamos da função de probabilidade da Binomial.

f x = n x . θ x . 1 - θ n - x

Beleza?

Daí a gente obtém a função de verossimilhança...

L θ = ∏ i = 1 N n x . θ x . 1 - θ n - x

Esse operador aí é o que representa o produto dos termos...

A gente pode melhorar isso um pouco...

Se a gente multiplica N vezes o termo θ x , é a mesma coisa que repetir a base θ e somar todos os N expoentes x ...

θ ∑ i = 1 N x i

A mesma coisa pro 1 - θ n - x , a gente repete a base e soma todos os expoentes... fica assim...

1 - θ N n - ∑ i = 1 N x i

E o termo da combinatória não tem como simplificar não, deixa assim mesmo, aí fica...

L θ = ∏ i = 1 N n x . θ ∑ i = 1 N x i . 1 - θ N n - ∑ i = 1 N x i

Bem feio né? Vai melhorar.

Passo 3

Próximo passo é calcular ln ⁡ L θ .

= ln ⁡ ∏ i = 1 N n x . θ ∑ i = 1 N x i . 1 - θ N n - ∑ i = 1 N x i

l n de um produto, você pode separar na soma dos l n ...

= l n ∏ i = 1 N n x + ln ⁡ θ ∑ i = 1 N x i + ln ⁡ 1 - θ N n - ∑ i = 1 N x i

O termo da frente deixa quieto assim mesmo, que já já a gente vai dar um jeito nele... nos outros a gente pode dar aquele peteleco nos expoentes...

= l n ∏ i = 1 N n x + ∑ i = 1 N x i . ln ⁡ θ + N n - ∑ i = 1 N x i . ln ⁡ 1 - θ

Passo 4

Tá tenso o bagulho né? Calma.

Continuando, a gente calcula a derivada desse monstro aí...

Lembra que eu falei que ia dar um jeito nesse primeiro termo aí? Pois é, na derivada ele zera né? Pronto, não precisamos mais carregar ele.

De resto, fica:

d ln ⁡ L θ d θ = ∑ i = 1 N x i θ - N n 1 - θ + ∑ i = 1 N x i 1 - θ

Passo 5

Pra fechar, a gente iguala isso a zero, maximizando a função.

∑ i = 1 N x i θ - N n 1 - θ + ∑ i = 1 N x i 1 - θ = 0

Tirando mmc embaixo...

1 - θ . ∑ i = 1 N x i - N n . θ + θ . ∑ i = 1 N x i θ 1 - θ = 0

O denominador vai embora e fica...

1 - θ . ∑ i = 1 N x i - N n . θ + θ . ∑ i = 1 N x i = 0

∑ i = 1 N x i - θ . ∑ i = 1 N x i - N n . θ + θ . ∑ i = 1 N x i = 0

Viu que tem dois termos iguais aí com sinal contrário? Eles vão sumir agora, dá uma olhada...

∑ i = 1 N x i - N n . θ = 0

AGORA SIM! Chegou o momento tão esperado, só falta isolar o estimador θ ...

θ = ∑ i = 1 N x i N n

Passo 6

A gente pode tentar simplificar isso aí...

Ta ligado que...

x ¯ = ∑ i = 1 N x i N

Certo?

Então o θ fica...

θ = x ¯ n

Sempre fica ligado nessa parada da média amostral, x ¯ , geralmente dá pra simplificar usando ela, e aí você não perde ponto bobo na prova.

Pra não perder ponto nenhum mesmo e mitar, só substituir no final..

θ = θ ^ M V

θ ^ M V = x ¯ n

Resposta

θ ^ M V = x ¯ n

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