Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Tem-se um modelo probabilístico descrito por uma variável aleatória discreta que modela o seguinte experimento: repete-se o experimento de uma distribuição Bernoulli com probabilidade p de sucesso até atingir o primeiro sucesso.

Determine qual é o modelo probabilístico que deve ser adotado para estimar o parâmetro p desta função de probabilidade e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro, detalhe todos os passos da solução.

Passo 1

Aqui temos que lembrar qual modelo é esse que tá sendo descrito!

Quando temos vários experimentos de Bernoulli repetidos e que, quando atingimos o primeiro sucesso, paramos de repeti-lo, temos uma distribuição Geométrica!

Agora que sabemos disso, podemos seguir nosso passo-a-passo para descobrir o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro desconhecido da distribuição, que é o p .

Passo 2

Primeira coisa, vamos escrever a função de densidade da nossa distribuição usando θ no lugar do parâmetro desconhecido p :

f x , θ = 1 - θ x - 1 θ

Agora calculamos a função L ( θ ) :

L θ = ∏ i = 1 n f ( x 1 , θ ) = 1 - θ x 1 - 1 θ . 1 - θ x 2 - 1 θ . 1 - θ x 3 - 1 θ … 1 - θ x n - 1 θ

θ e ( 1 - θ ) são bases de potência que se repetem n vezes, e quando temos potências de mesma base sendo multiplicadas, nós mantemos a base e somamos os expoentes, então...

L θ = 1 - θ ( x 1 - 1 + x 2 - 1 + x 3 - 1 … x n - 1 ) θ 1 + 1 + 1 … 1

Essa sequêcia de 1 + 1 + 1 … 1 vai englobar n números " 1 " , então essa soma vai dar simplesmente n . E para o outro expoente, podemos escrever os x i como um somatório, e os - 1 - 1 - 1 … - 1 (que vão se repetir n vezes) como - n :

L θ = θ n 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n

Passo 3

Para o terceiro passo, temos que calcular o logaritmo da função de máxima verossimilhança:

ln ⁡ L θ = ln ⁡ θ n 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n

Temos duas bases de potência se multiplicando aí dentro, e o logaritmo de um produto é a mesma coisa que a soma dos logaritmos de cada termo separadamente, então...

ln ⁡ L θ = ln ⁡ θ n + ln ⁡ 1 - θ ∑ i = 1 n x i - n

E agora podemos derrubar esses expoentes graças as propriedades dos logaritmos...

ln ⁡ L θ = n ln ⁡ θ + ∑ i = 1 n x i - n ln ⁡ 1 - θ

Passo 4

Agora temos que derivar isso aí, em relação ao parâmetro θ , e igualar a zero:

d ln ⁡ L θ d θ = d n ln ⁡ θ + ∑ i = 1 n x i - n ln ⁡ 1 - θ d θ

E a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então:

d ln ⁡ L θ d θ = d ( n ln ⁡ θ ) d θ + d ∑ i = 1 n x i - n ln ⁡ 1 - θ d θ

Derivando o primeiro termo em relação a θ :

d ln ⁡ L θ d θ = n θ + d ∑ i = 1 n x i - n ln ⁡ 1 - θ d θ

E para o segundo, temos que fazer a regra do produto:

d ln ⁡ L θ d θ = n θ + ∑ i = 1 n x i - n ( - 1 ) 1 - θ

Reorganizando isso aí:

d ln ⁡ L θ d θ = n θ + n - ∑ i = 1 n x i 1 - θ

Igualando a zero agora:

n θ + n - ∑ i = 1 n x i 1 - θ = 0

Passo 5

Finalmente, isolamos nosso parâmetro desconhecido θ nessa expressão:

n θ + n - ∑ i = 1 n x i 1 - θ = 0

n θ = - n + ∑ i = 1 n x i 1 - θ

n - θ n = - θ n + θ ∑ i = 1 n x i

n = θ ∑ i = 1 n x i → θ = n ∑ i = 1 n x i

Lembrando a fórmula da média amostral x - = ∑ i = 1 n x i n :

θ M V = 1 x -

Resposta

θ M V = 1 x -

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