Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Queremos modelar tempos de duração de equipamentos, esta propriedade indica que a vida restante de um equipamento não depende da idade atual deste equipamento. Pergunta-se:

  1. Qual o modelo probabilístico que você adotaria para este experimento?
  2. Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, mostrar todos os passos da solução.

Passo 1

(a)

Pra modelar o tempo de duração de um equipamento precisamos de uma variável contínua, concorda? Isso era a primeira coisa que você tinha que notar, já que o tempo é algo contínuo né...

Qual das distribuições contínuas que a gente conhece melhor se enquadra pra representar o tempo... a exponencial.

X   ~   E x p o n e n c i a l   θ

θ é o parâmetro que a gente não conhece, que a gente vai estimar agora na letra (b).

Passo 2

(b)

Bom a gente tem uma variável que segue a distribuição exponencial, com parâmetro λ que precisamos estimar.

X ~ E x p ( λ )

A gente conhece a função de probabilidade da exponencial, lembra?

f x ; λ = λ . e - λ x

Passo 3

Primeira coisa, vamos chamar de θ o estimador de máximo verossimilhança para o parâmetro e calcular a sua função de verossimilhança.

L θ = ∏ i = 1 n θ . e - θ x

Quando a gente multiplica n vezes o θ , é a mesma coisa que elevar ele a n - é s i m a potência.

E quando multiplicamos n exponenciais é a mesma coisa que somar todos os expoentes da exponencial. Concorda? Quando multiplicamos exponenciais, somamos os expoentes.

Ficaria assim então:

L θ = θ n . e ∑ - θ x

Passo 4

Agora calculamos o l n .

ln ⁡ L θ = ln ⁡ θ n . e ∑ - θ x

= ln ⁡ θ n + ln ⁡ e ∑ - θ x

= n . ln ⁡ θ - ∑ i = 1 n θ x i

Passo 5

Pra finalizar calculamos a derivada e igualamos a zero.

d ln ⁡ L θ d θ = d n . ln ⁡ θ - ∑ i = 1 n θ x i d θ

= n θ - ∑ i = 1 n x i

Igualando isso a zero, teremos:

n θ - ∑ i = 1 n x i = 0

∑ i = 1 n x i = n θ

θ = n ∑ i = 1 n x i

Isso é a mesma coisa que dizer que nosso estimador de máxima verossimilhança é igual a:

θ = 1 x ¯

Já que x ¯ = ∑ x i n .

Resposta

a   X   ~   E x p   θ

b   θ ^ M V = 1 x ¯

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