Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Seja X 1 , X 2 , X 3 … uma amostra aleatória extraída de uma população com função densidade da forma:

Identifique o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro desconhecido, com base na amostra aleatória.

Passo 1

Nossa função de densidade já veio, e o parâmetro desconhecido dela é o λ . Vamos reescrevê-la com θ :

f x , θ = x 2 e - x θ 2 θ ³

Passo 2

Agora calculamos a função L ( θ ) , dada por:

L θ = ∏ i = 1 n x i 2 e - x i θ 2 θ ³

Lembrando que os índices i vão no x . Abrindo issaê:

L θ = x 1 2 e - x 1 θ 2 θ ³ × x 2 2 e - x 2 θ 2 θ ³ × x 3 2 e - x 3 θ 2 θ ³ … x n 2 e - x n θ 2 θ ³ = 1 2 θ 3 n × ∏ i = 1 n x i 2 × e - ∑ i = 1 n x i θ

Por enquanto mantemos esse produtório aí mesmo, já que não dá pra reescrevê-lo de nenhuma outra forma.

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural na função que calculamos no passo anterior:

ln ⁡ L θ = ln ⁡ 1 2 θ 3 n × ∏ i = 1 n x i 2 × e - ∑ i = 1 n x i θ

Temos três produtos dentro desse logaritmo, vamos separá-los usando a propriedade dos produtos do logaritmo:

ln ⁡ L θ = ln ⁡ 1 2 θ 3 n + ln ⁡ ∏ i = 1 n x i 2 + ln ⁡ e - ∑ i = 1 n x i θ

Acabamos de falar da propriedade do produto, certo? Então vamos usá-la aqui de novo no produtório, que nada mais é que um produto n vezes. Se o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos...

l n ∏ i = 1 n x i 2 = ∑ i = 1 n l n ⁡ ( x i ² )

Então reescrevendo nossa função log ⁡ L θ com essa substituição e usando a propriedade dos expoentes no logaritmo pra derrubar os expoentes:

ln ⁡ L θ = n ln ⁡ 1 2 θ 3 + 2 ∑ i = 1 n l n ⁡ ( x i ) + - ∑ i = 1 n x i θ ln ⁡ e

Como ln ⁡ e = 1 :

ln ⁡ L θ = n ln ⁡ 1 2 θ 3 + 2 ∑ i = 1 n l n ⁡ ( x i ) - ∑ i = 1 n x i θ

Passo 4

Agora derivamos o que acabamos de achar, em relação ao parâmetro desconhecido θ :

d ln ⁡ L θ d θ = d n ln ⁡ 1 2 θ 3 + 2 ∑ i = 1 n ln ⁡ x i - ∑ i = 1 n x i θ d θ

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, então...

= d n ln ⁡ 1 2 θ 3 d θ + d 2 ∑ i = 1 n ln ⁡ x i d θ - d ∑ i = 1 n x i θ d θ

Podemos reparar que o segundo termo não tem θ , então a derivada dele vai ser zero.

Derivando o primeiro termo separadamente:

d n ln ⁡ 1 2 θ 3 d θ = n 2 θ 3 - 3 2 θ - 4 = - 3 n θ - 1 = - 3 n θ

Queee? Tendi nada! Aqui nós fizemos a regra da cadeia das derivadas! Primeiro derivamos o ln ⁡ 1 2 θ 3 como se fosse a derivada de ln ⁡ x , ou seja:

ln ⁡ 1 2 θ 3 → 2 θ 3

E depois multiplicamos o resultado pela derivada do 1 2 θ 3 , que vale:

1 2 θ 3 → - 3 2 θ - 4

Agora derivando o terceiro termo separadamente:

- d ∑ i = 1 n x i θ d θ = ∑ i = 1 n x i θ ²

Então, juntando todos os termos, nossa derivada fica:

d ln ⁡ L θ d θ = - 3 n θ + ∑ i = 1 n x i θ ²

Passo 5

Agora igualamos essa derivada a zero para achar o estimador:

d ln ⁡ L θ d θ = - 3 n θ + ∑ i = 1 n x i θ ² = 0

Multiplicando tudo por θ ² :

- 3 n θ + ∑ i = 1 n x i = 0

Isolando o θ :

θ = ∑ i = 1 n x i 3 n

Mas sabemos que ∑ i = 1 n x i n = X - , certo? É a fórmula da nossa média amostral, então:

θ M V = X - 3

Resposta

θ M V = X - 3

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