Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Seja X ~ E x p ( λ ) ; λ > 0 e X > 0 . Calcule:

  1. Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, mostrar todos os passos da solução.
  2. Admitindo-se que a X = ( 2,3 ; 3,0 ; 2,6 ; 2,2 ; 2,4 ) , qual seria o valor de "   λ   ̂ " .

Passo 1

(a)

Bom a gente tem uma variável que segue a distribuição exponencial, com parâmetro λ que precisamos estimar.

X ~ E x p ( λ )

A gente conhece a função de probabilidade da exponencial, lembra?

f x ; λ = λ . e - λ x

Passo 2

Primeira coisa, vamos chamar de θ o estimador de máximo verossimilhança para o parâmetro e calcular a sua função de verossimilhança.

L θ = ∏ i = 1 n θ . e - θ x

Quando a gente multiplica n vezes o θ , é a mesma coisa que elevar ele a n - é s i m a potência.

E quando multiplicamos n exponenciais é a mesma coisa que somar todos os expoentes da exponencial. Concorda? Quando multiplicamos exponenciais, somamos os expoentes.

Ficaria assim então:

L θ = θ n . e ∑ - θ x

Passo 3

Agora calculamos o l n .

ln ⁡ L θ = ln ⁡ θ n . e ∑ - θ x

= ln ⁡ θ n + ln ⁡ e ∑ - θ x

= n . ln ⁡ θ - ∑ i = 1 n θ x i

Passo 4

Pra finalizar calculamos a derivada e igualamos a zero.

d ln ⁡ L θ d θ = d n . ln ⁡ θ - ∑ i = 1 n θ x i d θ

= n θ - ∑ i = 1 n x i

Igualando isso a zero, teremos:

n θ - ∑ i = 1 n x i = 0

∑ i = 1 n x i = n θ

θ = n ∑ i = 1 n x i

Isso é a mesma coisa que dizer que nosso estimador de máxima verossimilhança é igual a:

θ = 1 x ¯

Passo 5

(b)

Pra gente descobrir o que queremos, primeiro temos que calcular a média desses valores e substituir na fórmula que a gente acabou de achar para o estimador.

x ¯ = 2,3 + 3 + 2,6 + 2,2 + 2,4 5 = 12,5 5 = 2,5

Com isso:

θ = 1 2,5 = 0,4

Resposta

a   θ = 1 x ¯

b   θ = 0,4

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