Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Suponha que a variável aleatória X tenha a seguinte função de densidade de probabilidade:

f x = θ + 1 x θ ,     0 < x < 1

Seja X 1 , X 2 , … X n uma amostra aleatória de tamanho n . Ache o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro θ .

Passo 1

Já recebemos a função escrita com o parâmetro desconhecido θ :

f x = θ + 1 x θ ,     0 < x < 1

Podemos calcular então a função L ( θ ) :

L θ = ∏ i = 1 n θ + 1 x i θ = θ + 1 x 1 θ × θ + 1 x 2 θ × … θ + 1 x n θ

Mantendo as bases das potências e somando os expoentes:

L θ = θ + 1 n ∏ i = 1 n x i θ

Passo 2

Agora calculamos o logaritmo desse resultado:

ln ⁡ L θ = ln ⁡ θ + 1 n ∏ i = 1 n x i θ

Logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, então:

= ln ⁡ θ + 1 n + ln ⁡ ∏ i = 1 n x i θ

Derrubando os expoentes:

= n ln ⁡ θ + 1 + θ ln ⁡ ∏ i = 1 n x i

= n ln ⁡ θ + 1 + θ ln ⁡ ( x 1 . x 2 . x 3 … x n )

Novamente podemos transformar o logaritmo dos produtos:

= n ln ⁡ θ + 1 + θ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + … ln ⁡ x n

= n ln ⁡ θ + 1 + θ ∑ i = 1 n ln ⁡ x i

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação ao parâmetro θ :

d ln ⁡ L θ d θ = d n ln ⁡ θ + 1 + θ ∑ i = 1 n ln ⁡ x i d θ

= n θ + 1 + ∑ i = 1 n ln ⁡ x i

Finalmente igualamos essa derivada a zero e isolamos θ :

n θ + 1 + ∑ i = 1 n ln ⁡ x i = 0

θ + 1 = - n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i

θ M V = - n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i - 1

Resposta

θ M V = - n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i - 1

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