Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

Estimador e Erros

Um administrador do governo quer avaliar a proporção Equation de aprovação da comunidade sobre determinado projeto. Para isso fez uma pesquisa de opinião selecionando ao acaso Equation pessoas da população de interesse. Considerando Equation favorável e Equation desfavorável, temos então Equation variáveis aleatórias iid Equation , todas elas com distribuição de Bernoulli Equation . Considere as quatro seguintes alternativas de estimador para Equation :

Equation

  1. Qual é o viés (ou vício) de cada um desses estimadores?
  2. Expresse o erro quadrático média Equation de cada um deles em função de Equation . Ordene esses estimadores em termos de seus Equation , e diga qual é o melhor de acordo com esse critério.
  3. Se os dados coletados foram:

Equation

Qual é a estimativa de Equation para cada uma das quatro alternativas?

Passo 1

(a)

Temos variáveis aleatórias iid, todas com distribuição Bernoulli Equation .

Equation

Bom lembrar que:

Equation

E temos quatro estimadores para Equation e vamos calcular o viés de cada um.

A fórmula do viés é:

Equation

Onde Equation são os estimadores que a gente tem.

A gente precisa então calcular primeiro Equation de cada estimador.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra fazer isso a gente vai ter só que aplicar aquelas propriedades de esperança de uma combinação linear.

Vamos lá, um por um:

Equation

Equation

A gente sabe que:

Equation

Daí:

Equation

E aí o viés será:

Equation

Equation

Passo 3

Para Equation :

Equation

Equation

Daí:

Equation

E o viés será:

Equation

Equation

Equation

Passo 4

Para Equation :

Equation

Equation

E o viés:

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Pra fechar, Equation :

Equation

Equation

Equation

E o viés:

Equation

Equation

Equation

Viu? Não tem muito mistério, era só lembrar que a esperança de uma variável Bernoulli é Equation e as propriedades da esperança.

Passo 6

(b)

Pra expressar o Equation primeiro a gente tem que lembrar da fórmula:

Equation

A gente já sabe que todos os viés são zero, falta calcular as suas variâncias, e vamos ter:

Equation

De novo, vamos fazer um por um...

Para Equation

Equation

Equation

Equation

Lembrando que Equation .

Equation

Equation

E daí a gente tira o Equation .

Equation

Equation

Passo 7

Para Equation .

Equation

Equation

Equation

E daí:

Equation

Passo 8

Para Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

E:

Equation

Passo 9

Fechando:

Equation

Equation

Equation

E:

Equation

Passo 10

Vamos ordená-los agora:

Equation

Equation

Equation

Equation

Colocando em ordem crescente, do menor para o maior Equation ...

Equation

E o melhor estimador é aquele que tem o menor Equation , logo é o Equation .

Passo 11

(c)

Os dados coletados são:

Equation

Vamos ter que calcular Equation de cada estimador.

Tranquilo... só você identificar o Equation (se é zero ou um) e colocar nas fórmulas.

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

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