Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Um administrador do governo quer avaliar a proporção p de aprovação da comunidade sobre determinado projeto. Para isso fez uma pesquisa de opinião selecionando ao acaso 40 pessoas da população de interesse. Considerando 1 = favorável e 0 = desfavorável, temos então 40 variáveis aleatórias iid X 1 , X 2 , … , X 40 , todas elas com distribuição de Bernoulli p . Considere as quatro seguintes alternativas de estimador para p :

p ^ A = X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4     ,     p ^ B = X 10 + 2 X 20 + 3 X 30 + 4 X 40 10     ,     p ^ C = ∑ i = 1 40 X i 40       ,     p ^ D = ∑ i = 1 10 X i + 2 . ∑ i = 11 20 X i + 3 . ∑ i = 21 30 X i + 4 . ∑ i = 31 40 X i 100

  1. Qual é o viés (ou vício) de cada um desses estimadores?
  2. Expresse o erro quadrático média E Q M de cada um deles em função de p . Ordene esses estimadores em termos de seus E Q M , e diga qual é o melhor de acordo com esse critério.
  3. Se os dados coletados foram:

10001       11111       10111       11110       11000       11111       11111       11100

Qual é a estimativa de p para cada uma das quatro alternativas?

Passo 1

(a)

Temos variáveis aleatórias iid, todas com distribuição Bernoulli p .

X i   ~   B e r n o u l l i p

Bom lembrar que:

E X i = p     e     V a r X i = p 1 - p

E temos quatro estimadores para p e vamos calcular o viés de cada um.

A fórmula do viés é:

B p ^ = E p ^ - p

Onde p ^ são os estimadores que a gente tem.

A gente precisa então calcular primeiro E p ^ de cada estimador.

Passo 2

Pra fazer isso a gente vai ter só que aplicar aquelas propriedades de esperança de uma combinação linear.

Vamos lá, um por um:

p ^ A = X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4

E p ^ A = E X 10 + E X 20 + E X 30 + E X 40 4

A gente sabe que:

E X i = p

Daí:

E p ^ A = 4 p 4 = p

E aí o viés será:

B p ^ A = p - p

B p ^ A = 0

Passo 3

Para p ^ B :

p ^ B = X 10 + 2 X 20 + 3 X 30 + 4 X 40 10    

E p ^ B = E X 10 + 2 . E X 20 + 3 . E X 30 + 4 . E X 40 10

Daí:

E p ^ B = p + 2 p + 3 p + 4 p 10 = 10 p 10 = p

E o viés será:

B p ^ B = E p ^ B - p

= p - p

B p ^ B = 0

Passo 4

Para p ^ C :

p ^ C = ∑ i = 1 40 X i 40

E p ^ C = 40 . E X i 40 = 40 p 40 = p

E o viés:

B p ^ C = E p ^ C - p

= p - p

B p ^ C = 0

Passo 5

Pra fechar, p ^ D :

p ^ D = ∑ i = 1 10 X i + 2 . ∑ i = 11 20 X i + 3 . ∑ i = 21 30 X i + 4 . ∑ i = 31 40 X i 100

E p ^ D = 10 . E X i + 2 × 10 . E X i + 3 × 10 . E X i + 4 × 10 . E X i 100

E p ^ D = 100 p 100 = p

E o viés:

B p ^ D = E p ^ D - p

= p - p

B p ^ D = 0

Viu? Não tem muito mistério, era só lembrar que a esperança de uma variável Bernoulli é p e as propriedades da esperança.

Passo 6

(b)

Pra expressar o E Q M primeiro a gente tem que lembrar da fórmula:

E Q M p ^ = V a r p ^ + B p ^ 2

A gente já sabe que todos os viés são zero, falta calcular as suas variâncias, e vamos ter:

E Q M p ^ = V a r p ^

De novo, vamos fazer um por um...

Para p ^ A :

p ^ A = X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4

V a r p ^ A = V a r X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4

= 1 16 . V a r X 10 + V a r X 20 + V a r X 30 + V a r X 40

Lembrando que V a r X i = p 1 - p .

= 4 p 1 - p 16

V a r p ^ A = p 1 - p 4

E daí a gente tira o E Q M .

E Q M p ^ A = V a r p ^ A

E Q M p ^ A = p 1 - p 4

Passo 7

Para p ^ B .

p ^ B = X 10 + 2 X 20 + 3 X 30 + 4 X 40 10    

V a r p ^ B = 1 100 . V a r X 10 + 4 . V a r X 20 + 9 . V a r X 30 + 16 . V a r X 40

= 30 p 1 - p 100

E daí:

E Q M p ^ B = 30 p 1 - p 100

Passo 8

Para p ^ C :

p ^ C = ∑ i = 1 40 X i 40

V a r p ^ C = 1 40 2 . ∑ i = 1 40 V a r X i

= 40 . V a r X i 40 2

= p 1 - p 40

E:

E Q M p ^ C = p 1 - p 40

Passo 9

Fechando:

p ^ D = ∑ i = 1 10 X i + 2 . ∑ i = 11 20 X i + 3 . ∑ i = 21 30 X i + 4 . ∑ i = 31 40 X i 100

V a r p ^ D = 1 100 2 . 10 . V a r X i + 4 × 10 . V a r X i + 9 × 10 . V a r X i + 16 × 10 . V a r X i

= 300 p 1 - p 100 ²

E:

E Q M p ^ D = 3 p 1 - p 100

Passo 10

Vamos ordená-los agora:

E Q M p ^ A = p 1 - p 4 = 0,25 p 1 - p

E Q M p ^ B = 30 p 1 - p 100 = 0,30 p 1 - p

E Q M p ^ C = p 1 - p 40 = 0,025 p 1 - p

E Q M p ^ D = 0,03 p 1 - p

Colocando em ordem crescente, do menor para o maior E Q M ...

p ^ C < p ^ D < p ^ A < p ^ B

E o melhor estimador é aquele que tem o menor E Q M , logo é o p ^ C .

Passo 11

(c)

Os dados coletados são:

10001       11111       10111       11110       11000       11111       11111       11100

Vamos ter que calcular p ^ de cada estimador.

Tranquilo... só você identificar o x i (se é zero ou um) e colocar nas fórmulas.

p ^ A = X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4

= 1 + 0 + 1 + 0 4

p ^ A = 0,5

p ^ B = X 10 + 2 X 20 + 3 X 30 + 4 X 40 10

= 1 + 2 × 0 + 3 × 1 + 4 × 0 10 = 4 10

p ^ B = 0,4

p ^ C = ∑ i = 1 40 X i 40

= 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + … + 1 + 0 + 0 40 = 30 40

p ^ C = 0,75

p ^ D = ∑ i = 1 10 X i + 2 . ∑ i = 11 20 X i + 3 . ∑ i = 21 30 X i + 4 . ∑ i = 31 40 X i 100

= 7 + 2 × 8 + 3 × 7 + 4 × 8 100 = 76 100

p ^ D = 0,76

Resposta

a   T o d o s   o s   v i é s   s ã o   0

b   p ^ C < p ^ D < p ^ A < p ^ B   p ^ C   é   o   m e l h o r

c   p ^ A = 0,5   ; p ^ B = 0,4     ; p ^ C = 0,75     ; p ^ D = 0,76

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