Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Suponha que o número de falhas de um determinado tipo de máquina ao longo de 10 anos de uso numa indústria seja uma variável aleatória que segue o modelo Poisson de taxa λ a ser estimada a partir de uma amostra aleatória X 1 ,   .   .   .   ,   X n de tamanho n .

(a) Mostre que a média amostral X - = 1 n ∑ i = 1 n X i é um estimador não viesado (não tendencioso) para λ .

(b) Utilizando a relação V a r ( Y )   =   E ( Y 2 )   -   E Y 2 , calcule E ( X i 2 ) e E ( X - 2 ) .

(c) Considere agora o estimador S * 2 =   ( ∑ i = 1 n X i 2 - n X - 2 )   / n para λ . Mostre que S * 2   é viesado (viciado, tendencioso) e calcule seu viés (vício).

Passo 1

a) Nessa primeira letra aqui, temos um conjunto de variáveis aleatória de X 1 até X n .

Não dá pra saber a média nem o desvio padrão dessas variáveis! Mas todas seguem o modelo de Poisson.

Sendo assim, para n variáveis, temos que a média amostral pode ser escrita como...

E X - = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i )

E se todas as v.as seguem o modelo Poisson, então todas se relacionam por uma taxa λ . Logo;

E X - = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = n λ n = λ

Logo, a amostra como um tudo tem a mesma taxa λ !

Passo 2

b) Bom! A gente sabe que...

V a r ( Y )   =   E ( Y 2 )   -   E Y 2

Sendo assim, temos que...

E X i 2 = V a r X i + E ( X i 2 )

E X i 2 = λ + λ 2

E X - 2 é dado por...

E X - 2 = V a r X - + E X - 2

E X - 2 = V a r 1 n ∑ i = 1 n X i + E X - 2

E X - 2 = 1 n 2 ∑ i = 1 n V a r ( X i ) + λ 2

E X - 2 = n λ n 2 + λ 2

E X - 2 = λ n + λ 2

Passo 3

c) Agora, temos que mostrar que S * 2 é viciado...

S * 2 =   ∑ i = 1 n X i 2 - n X - 2   / n

Se liga! A gente tem que...

S * 2 = 1 n ∑ i = 1 n X i 2 - X - 2

Rearranjando...

E S * 2 = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i 2 ) - E X - 2

E substituindo...

E S * 2 = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i 2 ) - E X - 2

E S * 2 = 1 n ⋅ n λ + λ 2 - λ n - λ 2

E S * 2 = λ - λ n

Logo S * 2 é viciado!

Obtemos E S * 2 ! Já o vício B S * 2 , é dado por...

B S * 2 = E S * 2 - λ

B S * 2 = λ - λ n - λ

B S * 2 = - λ n

Resposta

a   E X - = λ

b   E X - 2 = λ n + λ 2

c   E S * 2 = λ - λ n ;   B S * 2 = - λ n

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