Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Para estimar a média μ de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, μ ^ 1 , μ ^ 2 e μ ^ 3 , obtidos a partir de três amostras independentes, tal que V a r μ ^ 1 = 2   V a r μ ^ 2 = 3   V a r μ ^ 3 . Considere os seguintes estimadores ponderados de μ :

T 1 = μ ^ 1 + 2 μ ^ 2 + 3 μ ^ 3 6 ,               T 2 = 3 μ ^ 1 + 2 μ ^ 2 - μ ^ 3 4 ,               T 3 = μ ^ 1 + μ ^ 2 2

a) Determine se os estimadores T 1 , T 2 e T 3 são ou não viesados.

b) Qual estimador possui menor erro quadrático médio (EQM)?

Passo 1

Fala pessoal, bora começar mais uma questão de prova?

Essa é uma questão bem simples sobre estimadores. No item (a) temos que verificar se os estimadores são viesados ou não. Para isso, você deve lembrar que um estimador tem viés se seu valor esperado diferir do valor esperado da amostra.

Nesse caso, como os estimadores μ ^ 1 , μ ^ 2 e μ ^ 3 não são viesados, seus valores esperados são iguais a média:

E μ ^ 1 = E μ ^ 2 = E μ ^ 3 = μ

Temos que verificar o que acontece para os estimadores T 1 , T 2 e T 3 . Para fazer isso, temos que lembrar que se

Y = a X 1 + b X 2 + c X 3 ,

vale que

E Y = a E X 1 + b E X 2 + c E X 3

Passo 2

Para o estimador T 1 , temos que

E T 1 = E μ ^ 1 + 2 E μ ^ 2 + 3 E μ ^ 3 6 = μ + 2 μ + 3 μ 6 = μ

Já para T 2 :

E T 2 = 3 E μ ^ 1 + 2 E μ ^ 2 - E μ ^ 3 4 = 3 μ + 2 μ - μ 4 = μ

Por fim, para T 3 :

E T 3 = E μ ^ 1 + E μ ^ 2 2 = μ + μ 2 = μ

Como os valores esperados de todos os estimadores são iguais a μ , os três estimadores não são viesados.

Passo 3

Agora vamos para o item (b)!

Queremos saber qual possui o menor erro quadrático médio. Para estimadores não viesados, o erro quadrático médio (EQM) é simplesmente a variância. Desta forma, temos que lembrar para uma variável

Y = a X 1 + b X 2 + c X 3 ,

a variância é dada por

V a r Y = a 2 V a r X 1 + b 2 V a r X 2 + c 2 V a r X 3

Portanto, para T 1 :

V a r T 1 = 1 36 V a r μ ^ 1 + 4 36 V a r μ ^ 2 + 9 36 V a r μ ^ 3

Para os demais estimadores:

V a r T 2 = 9 16 V a r μ ^ 1 + 4 16 V a r μ ^ 2 + 1 16 V a r μ ^ 3

V a r T 3 = 1 4 V a r μ ^ 1 + 1 4 V a r μ ^ 2

Passo 4

Para achar qual tem maior variância, vamos substituir

V a r μ ^ 2 = V a r μ ^ 1 2               e             V a r μ ^ 3 = V a r μ ^ 1 3

Logo,

V a r T 1 = 1 36 V a r μ ^ 1 + 4 36 ⋅ V a r μ ^ 1 2 + 9 36 ⋅ V a r μ ^ 1 3 = 6   V a r μ ^ 1 36

V a r T 2 = 9 16 V a r μ ^ 1 + 4 16 ⋅ V a r μ ^ 1 2 + 1 16 ⋅ V a r μ ^ 1 3 = 34   V a r μ ^ 1 48

V a r T 3 = 1 4 V a r μ ^ 1 + 1 4 ⋅ V a r μ ^ 1 2 = 3   V a r μ ^ 1 8

Simplificando todas as expressões:

V a r T 1 = 1 6 V a r μ ^ 1

V a r T 2 = 17 24 V a r μ ^ 1

V a r T 3 = 3 8 V a r μ ^ 1

Com isso, vemos que o estimador com menor variância (e, portanto, menor EQM) é o estimador T 1 😊.

Resposta

a) Não são viesados.

b) T 1 .

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