Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Sejam   X ̄ 1 a média de uma amostra aleatória de dimensão n extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância σ 2 1 , e   X ̄ 2 a média de uma amostra aleatória de dimensão n , independente da primeira, extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância σ 2 2 . Mostre que:

(a) Se w   ∈ [ 0,1 ] ,   w ⋅   X ̄ 1 +   ( 1 - w ) ⋅   X ̄ 2   é um estimador não viesado de µ.

(b) A variância do estimador em (a) é mínima quando w   =   σ 2 2 σ 2 1 + σ 2 2

Passo 1

(a) Vamos lembrar de duas coisas:

  1. Um estimador T de um parâmetro θ é não-viesado se E ( T )   =   θ .
  2. Se X e Y são v.a’s e a e b são números reais, então E ( a ⋅ X   +   b ⋅ Y )   =   a ⋅ E ( X )   +   b ⋅ E ( Y )

Passo 2

Então o que a gente tem que mostrar é que a esperança desse estimador que ele deu é exatamente o parâmetro que ele quer estimar: μ .

Calculando a esperança então

E ( w ⋅   X ̄ 1 +   ( 1 - w ) ⋅   X ̄ 2 )   =   w ⋅ E (   X ̄ 1 )   +   ( 1 - w ) ⋅ E (   X ̄ 2 ) .

Passo 3

Agora a gente tem que lembrar que a média amostral é sempre um estimador não-viesado para a média populacional:

E (   X ̄ 1 )   =   μ ; e

E (   X ̄ 2 )   =   μ

Passo 4

Substituindo na nossa fórmula:

w ⋅ E (   X ̄ 1 )   +   ( 1 - w ) ⋅ E (   X ̄ 2 )   =   w ⋅ μ + ( 1 - w ) ⋅ μ   =   w ⋅ μ +   μ - w ⋅ μ =   μ

Assim, a esperança do nosso estimador deu exatamente μ .

Passo 5

(b) Antes de começar a resolver vamos só lembrar uma propriedade da variância: Se X e Y são v.a’s independentes e a e b são números reais, então v a r ( a ⋅ X   +   b ⋅ Y )   =   a 2 ⋅ v a r ( X )   +   b 2 ⋅ v a r ( Y ) .

Passo 6

Agora vamos calcular a variância desse estimador e ver o que acontece:

v a r ( w ⋅   X ̄ 1 +   ( 1 - w ) ⋅   X ̄ 2 )   =   w 2 ⋅ v a r (   X ̄ 1 ) + ( 1 - w ) 2 ⋅ v a r (   X ̄ 2 )

Passo 7

Lembrando agora que se uma população tem variância σ 2 , então a média amostral tem variância σ 2 n .

Substituindo então na nossa fórmula:

w 2 ⋅ v a r (   X ̄ 1 ) + ( 1 - w ) 2 ⋅ v a r (   X ̄ 2 )   =   w 2 ⋅ σ 2 1 n + ( 1 - w ) 2 ⋅ σ 2 2 n

Passo 8

Essa última expressão é nossa variância. Queremos agora achar o valor de w que minimiza essa variância. Portanto o que a gente tem que fazer é derivar (em relação a w ) e igualar a zero!

→   2 ⋅ w ⋅ σ 2 1 n - 2 ⋅ ( 1 - w ) ⋅ σ 2 2 n = 0   → 2 ⋅ w ⋅ ( σ 2 1 n + σ 2 2 n ) = 2 ⋅ σ 2 2 n → w = σ 2 2 n ( σ 2 1 n + σ 2 2 n ) =   σ 2 2 σ 2 1 + σ 2 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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