Enunciado

Considere uma amostra aleatória ( X 1 , X 2 , … , X n ) de uma v.a. X com distribuição normal. Mostre se a variância amostral s ² é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional σ ² .

Lembrar que:

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Passo 1

Primeira coisa... lembrar o critério pra um estimador ser tendencioso ou não.

A esperança de um estimador não tendencioso é igual ao valor do parâmetro estimados.

O valor do parâmetro que no caso é a variância populacional é σ ² .

A gente vai então ter que calcular a esperança do s ² e ver se dá igual a σ ² . Pegou a ideia?

Passo 2

Vamos calcular então E [ s 2 ] .

E s 2 = E ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

= 1 n - 1 E ∑ x i 2 - n . x ¯ 2

Até aqui beleza? Só tirei o que tava constante pra fora.

Passo 3

Vamos calcular essa parte agora separado...

E ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 = E ∑ x i 2 - n . E x ¯ 2

Apliquei uma propriedade da esperança..

Vendo por partes.. vamos analisar primeiro o x ¯ ² .

A gente sabe que..

E ( x ¯ 2 ) = V a r x ¯ + E x ¯ ²

Essa é uma relação entre a esperança e a variância de uma variável.

E esses valores a gente já conhece.. (dá uma olhada lá no conteúdo do capítulo)

V a r x ¯ = σ 2 n   ,     E x ¯ = μ

Então..

E x ¯ 2 = σ 2 n + μ ²

Passo 4

Vamos analisar agora E ∑ x i 2 .

Se fosse só E x i 2 , a gente faria assim..

E x i 2 = V a r x i + E [ x i ] ²

A gente sabe que V a r x i = σ ² e que E x i = μ .

Ai ficaria..

E x i 2 = σ ² + μ ²

Como temos o somatório de n valores de X , basta multiplicarmos isso que encontramos por n .

E ∑ x i 2 = n σ ² + n μ ²

Passo 5

Vamos juntar agora e tirar nossa conclusão.

E s 2 = 1 n - 1 E ∑ x i 2 - n . x ¯ 2

E s 2 = E ∑ x i 2 - n . E x ¯ 2 n - 1

Substituindo pelos valores que a gente encontrou.

E s 2 = n σ 2 + n μ 2 - n . σ 2 n + μ 2 n - 1

Multiplicando o n pra dentro do colchete.

E s 2 = n σ 2 - σ 2 n - 1

Colocando em evidência o σ ² .

E s 2 = n - 1 . σ 2 n - 1

E s 2 = σ ²

Opa!! E agora? Esse é o momento em que você já não sabe mais o que está fazendo haha..

O que a gente acabou de descobrir é que a esperança do s ² é igual ao valor do parâmetro que a gente queria σ ² .

Isso quer dizer que s ² é um estimador não tendencioso para a variância populacional σ ² .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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