Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

Elaboração própria

Considere uma amostra aleatória Equation de uma v.a. Equation com distribuição normal. Mostre se a variância amostral Equation é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional Equation .

Lembrar que:

Equation

Passo 1

Primeira coisa... lembrar o critério pra um estimador ser tendencioso ou não.

A esperança de um estimador não tendencioso é igual ao valor do parâmetro estimados.

O valor do parâmetro que no caso é a variância populacional é Equation .

A gente vai então ter que calcular a esperança do Equation e ver se dá igual a Equation . Pegou a ideia?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular então Equation .

Equation

Equation

Até aqui beleza? Só tirei o que tava constante pra fora.

Passo 3

Vamos calcular essa parte agora separado...

Equation

Apliquei uma propriedade da esperança..

Vendo por partes.. vamos analisar primeiro o Equation .

A gente sabe que..

Equation

Essa é uma relação entre a esperança e a variância de uma variável.

E esses valores a gente já conhece.. (dá uma olhada lá no conteúdo do capítulo)

Equation

Então..

Equation

Passo 4

Vamos analisar agora Equation

Se fosse só Equation , a gente faria assim..

Equation

A gente sabe que Equation e que Equation .

Ai ficaria..

Equation

Como temos o somatório de Equation valores de Equation , basta multiplicarmos isso que encontramos por Equation .

Equation

Passo 5

Vamos juntar agora e tirar nossa conclusão.

Equation

Equation

Substituindo pelos valores que a gente encontrou.

Equation

Multiplicando o Equation pra dentro do colchete.

Equation

Colocando em evidência o Equation .

Equation

Equation

Opa!! E agora? Esse é o momento em que você já não sabe mais o que está fazendo haha..

O que a gente acabou de descobrir é que a esperança do Equation é igual ao valor do parâmetro que a gente queria Equation .

Isso quer dizer que Equation é um estimador não tendencioso para a variância populacional Equation .

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