Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

UFRJ, Probest, PF - 2014.2, Questão 3

Seja Equation uma v.a. com média Equation e variância Equation . Seja Equation uma amostra aleatória de Equation . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador Equation para a média.

  1. Calcule o viés deste estimador.
  2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
  3. Ao comparar Equation e Equation , qual deles é mais indicado para estimar Equation ? Justifique.

Passo 1

(a)

Lembra da fórmula do viés? Vamos aplicar para o caso de um estimador pra média.

Equation

Temos que calcular essa esperança aí.

Equation

E vamos aplicar as propriedades de combinação linear da esperança.

Equation

A esperança de Equation , a gente conhece:

Equation

Daí fica:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E com isso, calculamos o viés.

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

(b)

Mais uma fórmula que você precisa lembrar ein, do erro quadrático médio...

Equation

Precisamos calcular a variância antes...

Equation

Aplicando as propriedades da variância agora:

Equation

E:

Equation

Fica então:

Equation

Passo 4

Daí a gente junta tudo de novo e calcula o erro quadrático...

Equation

Equation

Passo 5

(c)

Primeiro você precisaria saber o viés e o erro quadrático média da média Equation pra poder comparar, que são:

Equation

Equation

Se você comparar com os de Equation , vai ver que... como o viés de Equation é zero (o que indica que é um estimador não tendencioso) e o de Equation não é zero (estimador tendencioso).

E comparando a partir do erro quadrático médio, você tem que:

Equation

E quanto maior o erro quadrático médio, pior é o estimador.

Ou seja, o Equation é o melhor estimador.

Resposta

Equation

Equation

Equation

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