Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Seja X uma v.a. com média µ e variância σ ² . Seja X 1 , … , X n uma amostra aleatória de X . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador X ^ ≔ 1 n - 1 ∑ i = 1 n X i para a média.

  1. Calcule o viés deste estimador.
  2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
  3. Ao comparar X ^ e X ¯ , qual deles é mais indicado para estimar µ ? Justifique.

Passo 1

(a)

Lembra da fórmula do viés? Vamos aplicar para o caso de um estimador pra média.

B X ^ = E X ^ - μ

Temos que calcular essa esperança aí.

E X ^ = E 1 n - 1 ∑ i = 1 n X i

E vamos aplicar as propriedades de combinação linear da esperança.

= 1 n - 1 . ∑ i = 1 n E X i

A esperança de X , a gente conhece:

E X i = μ

Daí fica:

= n μ n - 1

Passo 2

E com isso, calculamos o viés.

B X ^ = E X ^ - μ

= n μ n - 1 - μ

= n μ - n μ + μ n - 1

= μ n - 1

Passo 3

(b)

Mais uma fórmula que você precisa lembrar ein, do erro quadrático médio...

E Q M X ^ = V a r X ^ + B X ^ 2

Precisamos calcular a variância antes...

V a r X ^ = V a r 1 n - 1 ∑ i = 1 n X i

Aplicando as propriedades da variância agora:

= 1 n - 1 2 . ∑ i = 1 n V a r X i

E:

V a r X i = σ ²

Fica então:

= n σ 2 n - 1 2

Passo 4

Daí a gente junta tudo de novo e calcula o erro quadrático...

E Q M X ^ = n σ 2 n - 1 ² + μ n - 1 2

= n σ 2 + μ 2 n - 1 2

Passo 5

(c)

Primeiro você precisaria saber o viés e o erro quadrático média da média X ¯ pra poder comparar, que são:

B X ¯ = 0

E Q M X ¯ = σ 2 n

Se você comparar com os de X ^ , vai ver que... como o viés de X ¯ é zero (o que indica que é um estimador não tendencioso) e o de X ^ não é zero (estimador tendencioso).

E comparando a partir do erro quadrático médio, você tem que:

E Q M X ^ > E Q M X ¯

E quanto maior o erro quadrático médio, pior é o estimador.

Ou seja, o X ¯ é o melhor estimador.

Resposta

a μ n - 1

b n σ 2 - μ n - 1 2

c   X ¯   é   o   m e l h o r   e s t i m a d o r

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