Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

UFRJ, Probest, PF - 2017.2, Questão 3b

Seja Equation uma variável aleatória com distribuição Equation , e seja Equation uma amostra aleatória da variável Equation . Considere os seguintes dois estimadores da variância Equation :

Equation

em que Equation . Sabe-se que Equation é um estimador não-viesado para Equation , e que Equation .

(b) Compare os Erros Quadráticos Médios (EQM) dos estimadores Equation e Equation . Qual deles tem menor EQM?

Passo 1

Letra b)

Lembrando a fórmula do EQM:

Equation

Calculando para Equation :

Equation

O viés já temos! E pra calcular a variância, vamos pegar a equação que descobrimos que relaciona Equation e Equation :

Equation

E “aplicar” variância dos dois lados:

Equation

[OFF]Queee? Da onde saíram esses quadrados? Propriedade da variância! Lembram?

Equation

Sendo Equation uma constante qualquer. No nosso caso, nosso Equation é o Equation .[FIM DO OFF]

Ok, voltando a nossa expressão agora! O enunciado deu pra gente o valor de Equation , então:

Equation

Agora aplicamos essa variância na fórmula do EQM:

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o EQM de Equation :

Equation

A variância de Equation ² foi dada no enunciado, e como Equation ² é um estimador não-viesado, seu viés vale zero! Então:

Equation

E qual desses dois EQMs que calculamos é menor? Para qualquer Equation , vamos ter que:

Equation

Já que o EQM de Equation tem um Equation no denominador que vai sempre fazer essa fração ser um número menor que o EQM de Equation !

Resposta

Letra b)

Equation

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