Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

P2- 2014.2 – UFRJ Estimador e Erros

Sejam X 1 , X 2 , , X n uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição Bernoulli ( p ) .

  1. Qual a distribuição de Y = X 1 + X 2 + + X n ?
  2. Considere os dois seguintes estimadores para p : T 1 = Y n e T 2 = Y + n 2 n + n . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para p ?
  3. Expresse o erro quadrático médio E Q M desses dois estimadores em função de n e p .
  4. Suponha n = 4 e faça um único gráfico mostrando o comportamento do E Q M em função de p para os dois estimadores.

Passo 1

(a)

Cada x i tem a mesma distribuição Bernoulli (com a mesma prob. de sucesso p ) e o Y vai ser a soma de vários x i .

Quando eu tenho um mesmo experimento Bernoulli sendo repetido várias vezes, o que que eu tenho na verdade? Uma Binomial, concorda? A gente viu isso.

Então podemos dizer que...

Y   ~   B i n n , p

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Passo 2

(b)

Você lembra o que faz um estimador ser não tendencioso? É quando o valor esperado pra ele é igual ao valor do parâmetro que a gente tá estimando.

E θ ^ = θ

Certo?

Então o que eu tenho que fazer nesses dois casos é calcular a esperança desses estimadores T 1 e T 2 e ver se dá igual a p ou não.

Se der, é não tendencioso, se não der, só lamento :D

Passo 3

Vamos fazer isso pro primeiro caso então...

E T 1 = E Y n

Pela propriedade da esperança, posso jogar pra fora o 1 n ...

E T 1 = E Y n

A gente acabou de ver que Y tem distribuição Binomial com parâmetros n e p .

Qual a esperança de uma variável que segue a Binomial?

E Y = n p

Certo?

Aí você junta tudo...

E T 1 = n p n

E T 1 = p

Opa! A esperança do estimador deu igual ao valor do parâmetro...

Isso significa que T 1 é um estimador não tendencioso de p .

Passo 4

Agora vamos ver esse segundo estimador aí, um pouco mais assustador...

E T 2 = E Y + n 2 n + n

Pera, não se assuste... concorda comigo que tudo isso aí que tem n são constantes? Variável mesmo só Y .

Então vamos usar algumas propriedades da esperança...

Tudo que multiplica a variável você pode tirar pra fora.... aí fica:

E T 2 = 1 n + n × E Y + n 2

Agora eu tenho a esperança de uma variável mais uma constante... também posso tirar essa constante pra fora...

E T 2 = 1 n + n × n 2 + E Y

Agora sucesso, só temos a E Y , que a gente já conhece lá do primeiro estimador que a gente fez, concorda?

E Y = n p

Jogando ali em cima...

E T 2 = n p + n 2 n + n

Mesmo que você mexa nesse capeta aí, você acha que isso é igual a p ? Não né! Então:

E T 2 = n p + n 2 n + n p

A gente conclui que T 2 é um estimador tendencioso do parâmetro p .

Passo 5

(c)

Agora a gente tem que calcular o E Q M dos dois estimadores, você lembra da fórmula?

E Q M θ ^ = V a r θ ^ + B θ ^ 2

Então antes a gente precisa calcular esses dois camaradas que apareceram aí.

Esse B θ ^ é o víeis... lembra dele?

B θ ^ = E θ ^ - θ

É a esperança do estimador (que a gente calculou no item anterior) menos o real valor do parâmetro.

Passo 6

Vamos calcular primeiro os viés (vieses... sla, não sou muito bom nisso) dos dois estimadores..

Pra T 1 ...

B T 1 = E T 1 - p

A gente calculou antes que:

E T 1 = p

Então:

B T 1 = p - p = 0

A gente já esperava isso né, como T 1 é não tendencioso, seu viés é zero.

Passo 7

Pra T 2 ...

B T 2 = E T 2 - p

A gente achou que:

E T 2 = n p + n 2 n + n

Então:

B T 2 = n p + n 2 n + n - p

Aí vamos abrir isso aí...

= n p + n 2 - n p - n p n + n

Opa, a gente corta um candango ali..

= n 2 - n p n + n

Vamos colocar n   em evidência...

= n 1 2 - p n n + 1

Aí a gente corta ele...

B T 2 = 1 2 - p n + 1

Show, vamos seguir e calcular a variância dos dois estimadores...

Passo 8

Pra T 1 ...

V a r T 1 = V a r Y n

Agora se liga que a gente vai usar as propriedades da variância, que são um pouquinho diferentes das da esperança... agora, a constante que multiplica a gente coloca pra fora elevando ao quadrado, e as constantes que a gente estiverem somando viram zero.

= 1 n 2 × V a r Y

Hmmm.. variância de Y ... vamos pensar igual a gente pensou pra esperança.

Y tem uma distribuição Binomial, qual a variância de uma distribuição dessa?

V a r Y = n p 1 - p

Juntando tudo...

V a r T 1 = n p 1 - p n 2

Simplificando:

V a r T 1 = p 1 - p n

Passo 9

Pra T 2 ...

V a r T 2 = V a r Y + n 2 n + n

Tá, vamos usar as propriedades...

  • O denominador que tá multiplicando, vem pra fora elevado ao quadrado;
  • O candango que tá somando Y ali, vai sumir.

= V a r Y n + n 2

V a r Y a gente já conhece.. fica então:

V a r T 2 = n p 1 - p n + n 2

Vou tentar melhorar isso aí pra a gente...

= n p 1 - p n n + 1 2

Coloquei n em evidência embaixo... aí agora vou elevar ela ao quadrado...

= n p 1 - p n n + 1 2

Aí some o n em cima e embaixo...

V a r T 2 = p 1 - p n + 1 2

Fiz isso porque a gente vai somar com o viés né, aí coloquei com denominadores parecidos pra facilitar nossa vida.

Passo 10

E agora? Agora tu já nem sabe o que tá fazendo né? Kkkk calma..

Finalmente a gente pode calcular o E Q M dos dois estimadores..

E Q M T 1 = B T 1 2 + V a r T 1

B T 1 = 0

E Q M T 1 = V a r T 1

V a r T 1 = p 1 - p n

Então:

E Q M T 1 = p 1 - p n

Passo 11

Agora pra T 2 :

E Q M T 2 = B T 2 2 + V a r T 2

B T 2 = 1 2 - p n + 1

V a r T 2 = p 1 - p n + 1 2

Então:

E Q M T 2 = 1 2 - p n + 1 2 + p 1 - p n + 1 2

= 1 2 - p 2 + p 1 - p n + 1 2

Abrindo os parênteses de cima...

= 1 4 - p + p 2 + p - p 2 n + 1 2

Corta um monte de candango aí...

E Q M T 2 = 1 4 n + 1 2

Falta pouco pra acabar..

Passo 12

(d)

Vamos pegar de novo os dois E Q M ' s :

E Q M T 1 = p 1 - p n

E Q M T 2 = 1 4 n + 1 2

Agora vamos fazer n = 4 ...

E Q M T 1 = p 1 - p 4

E Q M T 2 = 1 4 4 + 1 2

E Q M T 2 = 1 36

A gente tem que fazer o gráfico dessas duas funções agora...

Passo 13

Pra T 2 bem simples né.. T 2 é constante e igual a 1 36 . Então vamos ter uma reta na horizontal...

Passo 14

Pra T 1 a gente vai ter uma parábola..

p 1 - p 4 = 0

p 1 - p = 0

p = 0     o u     p = 1

Agora sim, fim de papo.

Deu um certo trabalho, mas concorda comigo que, sabendo as fórmulas e as propriedades, a dificuldade maior eram as contas! Não se assuste com esse tipo de questão mais, beleza?

Resposta

a   Y   ~   B i n   n , p

b   B T 1 = 0     e     B T 2 = 1 2 - p n + 1

c   E Q M T 1 = p 1 - p n     e     E Q M T 2 = 1 4 n + 1 2

d   i m a g e n s

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