Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

UFRJ, Probest, P2 - 2014.2, Questão 2

Sejam Equation uma amostra aleatória da variável aleatória Equation com distribuição Bernoulli Equation .

  1. Qual a distribuição de Equation ?
  2. Considere os dois seguintes estimadores para Equation : Equation e Equation . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para Equation ?
  3. Expresse o erro quadrático médio Equation desses dois estimadores em função de Equation e Equation .
  4. Suponha Equation e faça um único gráfico mostrando o comportamento do Equation em função de Equation para os dois estimadores.

Passo 1

(a)

Cada Equation tem a mesma distribuição Bernoulli (com a mesma prob. de sucesso Equation ) e o Equation vai ser a soma de vários Equation .

Quando eu tenho um mesmo experimento Bernoulli sendo repetido várias vezes, o que que eu tenho na verdade? Uma Binomial, concorda? A gente viu isso.

Então podemos dizer que...

Equation

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Passo 2

(b)

Você lembra o que faz um estimador ser não tendencioso? É quando o valor esperado pra ele é igual ao valor do parâmetro que a gente tá estimando.

Equation

Certo?

Então o que eu tenho que fazer nesses dois casos é calcular a esperança desses estimadores Equation e Equation e ver se dá igual a Equation ou não.

Se der, é não tendencioso, se não der, só lamento :D

Passo 3

Vamos fazer isso pro primeiro caso então...

Equation

Pela propriedade da esperança, posso jogar pra fora o Equation ...

Equation

A gente acabou de ver que Equation tem distribuição Binomial com parâmetros Equation e Equation .

Qual a esperança de uma variável que segue a Binomial?

Equation

Certo?

Aí você junta tudo...

Equation

Equation

Opa! A esperança do estimador deu igual ao valor do parâmetro...

Isso significa que Equation é um estimador não tendencioso de Equation .

Passo 4

Agora vamos ver esse segundo estimador aí, um pouco mais assustador...

Equation

Pera, não se assuste... concorda comigo que tudo isso aí que tem Equation são constantes? Variável mesmo só Equation .

Então vamos usar algumas propriedades da esperança...

Tudo que multiplica a variável você pode tirar pra fora.... aí fica:

Equation

Agora eu tenho a esperança de uma variável mais uma constante... também posso tirar essa constante pra fora...

Equation

Agora sucesso, só temos a Equation , que a gente já conhece lá do primeiro estimador que a gente fez, concorda?

Equation

Jogando ali em cima...

Equation

Mesmo que você mexa nesse capeta aí, você acha que isso é igual a Equation ? Não né! Então:

Equation

A gente conclui que Equation é um estimador tendencioso do parâmetro Equation .

Passo 5

(c)

Agora a gente tem que calcular o Equation dos dois estimadores, você lembra da fórmula?

Equation

Então antes a gente precisa calcular esses dois camaradas que apareceram aí.

Esse Equation é o víeis... lembra dele?

Equation

É a esperança do estimador (que a gente calculou no item anterior) menos o real valor do parâmetro.

Passo 6

Vamos calcular primeiro os viés (vieses... sla, não sou muito bom nisso) dos dois estimadores..

Pra Equation ...

Equation

A gente calculou antes que:

Equation

Então:

Equation

A gente já esperava isso né, como Equation é não tendencioso, seu viés é zero.

Passo 7

Pra Equation ...

Equation

A gente achou que:

Equation

Então:

Equation

Aí vamos abrir isso aí...

Equation

Opa, a gente corta um candango ali..

Equation

Vamos colocar Equation em evidência...

Equation

Aí a gente corta ele...

Equation

Show, vamos seguir e calcular a variância dos dois estimadores...

Passo 8

Pra Equation ...

Equation

Agora se liga que a gente vai usar as propriedades da variância, que são um pouquinho diferentes das da esperança... agora, a constante que multiplica a gente coloca pra fora elevando ao quadrado, e as constantes que a gente estiverem somando viram zero.

Equation

Hmmm.. variância de Equation ... vamos pensar igual a gente pensou pra esperança.

Equation tem uma distribuição Binomial, qual a variância de uma distribuição dessa?

Equation

Juntando tudo...

Equation

Simplificando:

Equation

Passo 9

Pra Equation ...

Equation

Tá, vamos usar as propriedades...

  • O denominador que tá multiplicando, vem pra fora elevado ao quadrado;
  • O candango que tá somando Equation ali, vai sumir.

Equation

Equation a gente já conhece.. fica então:

Equation

Vou tentar melhorar isso aí pra a gente...

Equation

Coloquei Equation em evidência embaixo... aí agora vou elevar ela ao quadrado...

Equation

Aí some o Equation em cima e embaixo...

Equation

Fiz isso porque a gente vai somar com o viés né, aí coloquei com denominadores parecidos pra facilitar nossa vida.

Passo 10

E agora? Agora tu já nem sabe o que tá fazendo né? Kkkk calma..

Finalmente a gente pode calcular o Equation dos dois estimadores..

Equation

Equation

Equation

Equation

Então:

Equation

Passo 11

Agora pra Equation :

Equation

Equation

Equation

Então:

Equation

Equation

Abrindo os parênteses de cima...

Equation

Corta um monte de candango aí...

Equation

Falta pouco pra acabar..

Passo 12

(d)

Vamos pegar de novo os dois Equation :

Equation

Equation

Agora vamos fazer Equation ...

Equation

Equation

Equation

A gente tem que fazer o gráfico dessas duas funções agora...

Passo 13

Pra Equation bem simples né.. Equation é constante e igual a Equation . Então vamos ter uma reta na horizontal...

Passo 14

Pra Equation a gente vai ter uma parábola..

Equation

Equation

Equation

Agora sim, fim de papo.

Deu um certo trabalho, mas concorda comigo que, sabendo as fórmulas e as propriedades, a dificuldade maior eram as contas! Não se assuste com esse tipo de questão mais, beleza?

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

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