Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

PF-2017/1 UFRJ Questão 3

Sejam T1 e T2 dois estimadores não tendenciosos do parâmetro θ tais que

V a r T 1 = 1 ,   V a r T 2 = 4   e   C O V T 1 , T 2 = - 1

Considere o estimador de θ definido por

T = α T 1 + 1 - α T 2 ,   α ∈ R

a) Para que valores de α, T é um estimador não tendencioso de θ?

b) Expresse a variância de T em função de α.

c) Para que valor de α, a variância de T é mínima?

Passo 1

a) Sempre que a questão perguntar pra gente se um estimador é tendencioso ou não, o primeiro passo é fazer a esperança!

Como T1 e T2 são dois estimadores não tendenciosos, já sabemos que:

E T 1 = θ

E T 2 = θ

Vamos calcular a esperança do estimador T:

E T = E α T 1 + 1 - α T 2 = α E T 1 + 1 - α E T 2 = α θ + 1 - α θ = θ

Como essa esperança deu o próprio θ , nosso estimador T é não tendencioso para qualquer valor de α ∈ R !

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Passo 2

b) Expresse a variância de T em função de α.

Vamos calcular a variância do nosso estimador T!

V a r T = α 2 V a r T 1 + ( 1 - α ) 2 V a r T 2 + 2 α 1 - α C O V ( T 1 , T 2 )

= α ² + 4 1 - 2 α + α 2 - 2 α + 2 α 2 = 7 α 2 - 10 α + 4

Passo 3

c) Para que valor de α, a variância de T é mínima?

Cara, se olharmos pro valor da variância que encontramos na letra b, dá pra perceber que se trata de uma função do segundo grau, com concavidade voltada pra cima!

Com isso, se calcularmos o vértice dessa parábola, teremos o valor mínimo da variância de T.

Calculando:

α = - ( - 10 ) 2 × 7 = 5 7

Resposta

a) É não tendencioso para qualquer valor de α ∈ R .

b) 7 α 2 - 10 α + 4

c) 5 7

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