Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Enunciado

Suponha que a variável aleatória

T : t e m p o   e n t r e   c h e g a d a s   c o n s e c u t i v a s   d e   c l i e n t e s   n a   f i l a   d e   u m   b a n c o

siga distribuição Exponencial com parâmetro l â m b d a desconhecido, e tome T 1 ,   … ,   T n uma amostra aleatória de T . Denote por φ a mediana de T (lembre que ∫ - ∞ φ f t d t =   1 2 , com f t a função de densidade da v.a. T ), e seja T m d = l n 2 T ¯ um estimador de φ , em que T denota a média amostral de ( T 1 ,   … ,   T n ) .

  1. T m d é um estimador não-tendencioso para φ ? Por quê?
  2. Obtenha o erro médio quadrático de T m d como estimador de φ .

Passo 1

(a)

Um estimador é não-tendencioso quando o valor esperado é igual o valor do parâmetro.

Primeiro a gente tinha que lembrar que:

f t → T

f ( t ) é a função que representa a variável T . E que é igual a:

f t = λ ⋅ e - λ t

Nesse exercício a gente tem uma estimação para a mediana representada por φ . Maaas, você precisaria lembrar que a mediana representa metade do valor total da função f ( t ) , ou seja:

∫ - ∞ φ f t d t =   1 2

Passo 2

Resolvendo a integral anterior.

∫ - ∞ φ λ ⋅   e - λ t d t =   1 2

Resolvendo a integral separadamente, por substituição simples:

∫ - ∞ φ λ ⋅   e - λ t d t → u = - λ t ,   - d u λ = d t → ∫ - e u d u = - e u λ

Resubstituindo e substituindo os intervalos da integral no lugar de t :

- e u → - e - λ t - ∞ φ = - e λ φ - - e 0 = 1 - e - λ φ

Agora podemos igualar esse resultado ao 1 2 :

1 - e - λ φ = 1 2

e - λ φ = 1 2

- λ φ = ln ⁡ 1 2

φ = - ln ⁡ 1 2 λ

φ = - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 λ

φ = ln ⁡ 2 λ

Passo 3

O estimador que a gente tem é:

T m d = l n 2 T ¯

Vamos ver qual é o valor esperado pra ele:

E T m d = E l n 2 T ¯  

E T m d = l n 2 E T ¯

E T ¯ = E ∑ t i n = 1 n × E ∑ t i = 1 n × E n × T = 1 n × n × E T

E T m d = ln ⁡ 2 × E T

A variável T , nesse caso, tem esperança igual a 1 / λ . Lembra disso? Tá lá no início da teoria, na parte de probabilidade. Então:

E T m d = ln ⁡ 2 λ

A gente conclui, então, que o valor esperado realmente é igual ao valor do parâmetro mediana. Por isso, o estimador pode ser considerado não-tendencioso.

Passo 4

(b)

E Q M T m d = V a r T m d

V a r T m d = V a r ln ⁡ 2 T ¯

                                                          = ln ⁡ 2 2 × V a r T ¯

                                                              = ln ⁡ 2 2 × V a r ∑ t i n

                                                                                    = ln ⁡ 2 2 × 1 n 2 × V a r ∑ t i

                                                                                  = ln ⁡ 2 2 × 1 n 2 × n × V a r T ¯

Lembrando novamente também que V a r T ¯ = 1 λ 2

          = ln ⁡ 2 2 n λ 2

= φ 2 n            

Resposta

a   É um estimador não-tendencioso

b   E Q M T m d = φ 2 n

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