Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

P2- 2012.2 – UFRJ Estimador e Erros

Suponha que a variável aleatória

Equation

siga distribuição Exponencial com parâmetro Equation desconhecido, e tome Equation uma amostra aleatória de Equation . Denote por Equation a mediana de Equation (lembre que Equation , com Equation a função de densidade da v.a. Equation ), e seja Equation um estimador de Equation , em que Equation denota a média amostral de Equation .

  1. Equation é um estimador não-tendencioso para Equation ? Por quê?
  2. Obtenha o erro médio quadrático de Equation como estimador de Equation .

Passo 1

(a)

Um estimador é não-tendencioso quando o valor esperado é igual o valor do parâmetro.

Primeiro a gente tinha que lembrar que:

Equation

Equation é a função que representa a variável Equation . E que é igual a:

Equation

Nesse exercício a gente tem uma estimação para a mediana representada por Equation . Maaas, você precisaria lembrar que a mediana representa metade do valor total da função Equation , ou seja:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo a integral anterior.

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

O estimador que a gente tem é:

Equation

Vamos ver qual é o valor esperado pra ele:

Equation

Equation

Equation

Equation

A variável Equation , nesse caso, tem esperança igual a Equation . Lembra disso? Tá lá no início da teoria, na parte de probabilidade. Então:

Equation

A gente conclui, então, que o valor esperado realmente é igual ao valor do parâmetro mediana. Por isso, o estimador pode ser considerado não-tendencioso.

Passo 4

(b)

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Lembrando novamente também que Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation É um estimador não-tendencioso

Equation

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