04- Dada a seguinte tabela para o vapor
x 2 4 6 8 10
p 68,7 31,3 19,8 14,3 11,3
  • onde v é o volume e p é a pressão, encontrar o trabalho execu tado pelo êmbolo aplicando
    a) a regra dos trapézios
    b) a regra de Simpson
    c) integração direta sabendo \mathrm{pv}^{1,12}=148

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{v=2}^{10}p(v)\,\mathrm{d}v
para um vapor cujos dados de pressão p em função do volume v estão na tabela.
Conteúdo da matéria: métodos de integração numérica (trapézio e Simpson) e integração analítica de funções potenciais.

Passo 2

Aplicando a regra dos trapézios com espaçamento h=2 entre os pontos v=2,4,6,8,10, temos
W_{\text{trap}}=\frac{h}{2}\Bigl[p_0+2p_1+2p_2+2p_3+p_4\Bigr]
onde
(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4)=(68{,}7,\,31{,}3,\,19{,}8,\,14{,}3,\,11{,}3).
Logo
W_{\text{trap}} =1\bigl[68{,}7+2\cdot31{,}3+2\cdot19{,}8+2\cdot14{,}3+11{,}3\bigr] =210{,}8.

Passo 3

Agora a regra de Simpson para n=4 subintervalos de comprimento h=2:
W_{\text{Simpson}} =\frac{h}{3}\Bigl[p_0+4p_1+2p_2+4p_3+p_4\Bigr].
Substituindo os mesmos p_i,
W_{\text{Simpson}} =\frac{2}{3}\bigl[68{,}7+4\cdot31{,}3+2\cdot19{,}8+4\cdot14{,}3+11{,}3\bigr] =\frac{2}{3}\times302{,}0 =201{,}33\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Para a integração direta, usamos a lei experimental
p\,v^{1,12}=148 \quad\Longrightarrow\quad p(v)=148\,v^{-1,12}.
Então
W = \int_{2}^{10}148\,v^{-1,12}\,\mathrm{d}v =148\int_{2}^{10}v^{-1,12}\,\mathrm{d}v.
Como
\int v^{-1,12}\,\mathrm{d}v =\frac{v^{-0,12}}{-0,12},
segue
W = \frac{148}{-0,12}\Bigl[v^{-0,12}\Bigr]_{2}^{10} = -1233{,}33\bigl(10^{-0,12}-2^{-0,12}\bigr) \approx199{,}2.

Resposta

(a) W_{\text{trap}}=210{,}8
(b) W_{\text{Simpson}}=201{,}33
(c) W_{\text{exata}}\approx199{,}2

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