01 - Dado o sistema abaixo:
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+5 x_{2}-x_{3} & =0 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{2}+6 x_{3} & =-1 \\\\ 7 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =8\end{aligned}\right.
a) Esse sistema é linear? Justifique sua resposta.
b) Faça um exemplo de sistema não linear.
c) Represente esse sistema pela sua matriz de coeficientes, vetor de variáveis e vetor constante.
d) Esse sistema é convergente para usar Gauss-Jacobi? Justifique sua resposta.
e) É possível torna-lo convergente para Gauss-Jacobi? Justifique sua resposta.
f) Esse sistema é convergente para usar Gauss-Seidel? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x_{1}+5x_{2}-x_{3}=0,\\\\ 4x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=-1,\\\\ 7x_{1}+x_{2}-2x_{3}=8. \end{cases}
O conteúdo envolve:
  1. Classificar o sistema como linear ou não.
  2. Dar um exemplo de sistema não linear.
  3. Escrever em forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  4. Testar convergência dos métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel, usando o critério de dominância diagonal.

Passo 2

Para ser um sistema linear, cada incógnita deve aparecer apenas com grau 1 (sem produtos entre incógnitas, potências, funções não lineares etc.) e os termos independentes podem ser somados livremente. Aqui vemos em cada equação somente combinações lineares de x_{1}, x_{2} e x_{3}. Logo, esse sistema é linear.

Passo 3

Um exemplo de sistema não linear é, por exemplo:
\begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2} = 1,\\\ \sin(x_{1}) + x_{2}^{3} = 0. \end{cases}

Passo 4

A representação matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b} é dada por
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1\\\\ 4 & -3 & 6\\\\ 7 & 1 & -2 \end{pmatrix},
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0\\\\ -1\\\\ 8 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para o método de Gauss–Jacobi, um critério suficiente de convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}| \quad\text{para todo }i.
Aqui:
– Linha 1: |2| < |5|+|{-1}| = 6.
– Linha 2: |{-3}| < |4|+|6| = 10.
– Linha 3: |{-2}| < |7|+|1| = 8.
Não há dominância em nenhuma linha, portanto não há garantia de convergência pelo critério de Gauss–Jacobi.

Passo 6

Podemos tentar reordenar as equações (permutar linhas) para obter dominância, mas nenhuma permutação torna todos os pivôs maiores que a soma dos demais elementos da linha. Dessa forma, não é possível torná-lo estritamente diagonalmente dominante por simples reordenação, e não garantimos convergência de Gauss–Jacobi.

Passo 7

O método de Gauss–Seidel também exige, como condição suficiente, que A seja estritamente diagonalmente dominante (ou simétrica definida positiva).
– Não há dominância diagonal (já vimos no passo 5).
A não é simétrica nem definida positiva.
Logo, não garantimos convergência pelo critério de Gauss–Seidel.

Resposta

a) O sistema é linear, pois todas as incógnitas aparecem apenas com grau 1 e sem produtos entre si.
b) Um exemplo de sistema não linear é
\begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2} = 1,\\\ \sin(x_{1}) + x_{2}^{3} = 0. \end{cases}
c) Em forma matricial:
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1\\\\ 4 & -3 & 6\\\\ 7 & 1 & -2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 8\end{pmatrix}.
d) Não é convergente para Gauss–Jacobi (não é diagonalmente dominante).
e) Não é possível torná-lo diagonalmente dominante por permutação simples de linhas.
f) Não é convergente para Gauss–Seidel (mesmas razões: falta de dominância e não ser SPD).

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