3- Na Aula achamos uma aproximação para uma raiz de
f(x)=e^{x}-x^{2}
no intervalo [-1,0] e encontramos que |f(-0,70313)|=0,00064.
Considere a função acima e os valores de x :
x_{1}=-1 ; x_{2}=-0,5 ; x_{3}=0
a) Obtenha um polinômio interpolador, p(x), de grau 2 , para f(x) e -1 \leq x \leq 0.
b) Calcule o erro E(x)=f(x)-p(x) para x=-0,70313.
c) Ache as raízes de p(x).
d) Compare a raiz de p(x) com a raiz aproximada de f(x) no intervalo [-1,0].

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre
f(x)=e^{x}-x^{2}
no intervalo [-1,0], usando os pontos
x_{1}=-1,\quad x_{2}=-0,5,\quad x_{3}=0.
Vamos (a) construir o polinômio interpolador de grau 2 por esses pontos (fórmula de Lagrange), (b) avaliar o erro em x=-0,70313, (c) achar as raízes de p(x) e (d) comparar a raiz negativa de p com a aproximação de f.

Passo 2

Primeiro calculamos
f(-1)=e^{-1}-(-1)^{2}=0,3678794-1=-0,6321206,
f(-0,5)=e^{-0,5}-(-0,5)^{2}=0,6065307-0,25=0,3565307,
f(0)=1-0=1.
Usando a forma de Lagrange,
L_{1}(x)=\frac{(x+0,5)(x-0)}{(-1+0,5)(-1-0)}=2x^{2}+x,
L_{2}(x)=\frac{(x+1)(x-0)}{(-0,5+1)(-0,5-0)}=-4x^{2}-4x,
L_{3}(x)=\frac{(x+1)(x+0,5)}{(0+1)(0+0,5)}=2x^{2}+3x+1,
e
p(x)=f(-1)L_{1}(x)+f(-0,5)L_{2}(x)+f(0)L_{3}(x).
Fazendo as contas chega-se a
p(x)=-0,690364\,x^{2}+0,9417566\,x+1.

Passo 3

Avalia-se o erro em x=-0,70313:
p(-0,70313)\approx-0,00378,
e como sabemos \bigl|f(-0,70313)\bigr|=0,00064 (e f(-0,70313)\approx+0,00064),
E(-0,70313)=f(-0,70313)-p(-0,70313) \approx0,00064-(-0,00378)=0,00442.

Passo 4

Para achar as raízes de p(x)=-0,690364x^{2}+0,9417566x+1=0 usamos a fórmula de Bhaskara. Obtemos
x\approx2,066\quad\text{e}\quad x\approx-0,7026.

Passo 5

A raiz negativa de p é x\approx-0,7026, muito próxima de -0,70313:
\bigl|-0,7026-(-0,70313)\bigr|\approx0,00053.

Resposta

(a) p(x)=-0,690364\,x^{2}+0,9417566\,x+1.
(b) E(-0,70313)\approx0,00442.
(c) As raízes são x\approx2,066 e x\approx-0,7026.
(d) A raiz negativa de p, -0,7026, difere da aproximação de f, -0,70313, em apenas cerca de 5{,}3\times10^{-4}.

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