3- Na Aula achamos uma aproximação para uma raiz de
f(x)=e^{x}-x^{2}
no intervalo [-1,0] e encontramos que |f(-0,70313)|=0,00064.
Considere a função acima e os valores de x :
x_{1}=-1 ; x_{2}=-0,5 ; x_{3}=0
a) Obtenha um polinômio interpolador, p(x), de grau 2 , para f(x) e -1 \leq x \leq 0.
b) Calcule o erro E(x)=f(x)-p(x) para x=-0,70313.
c) Ache as raízes de p(x).
d) Compare a raiz de p(x) com a raiz aproximada de f(x) no intervalo [-1,0].
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre
f(x)=e^{x}-x^{2}
no intervalo [-1,0], usando os pontos
x_{1}=-1,\quad x_{2}=-0,5,\quad x_{3}=0.
Vamos (a) construir o polinômio interpolador de grau 2 por esses pontos (fórmula de Lagrange), (b) avaliar o erro em x=-0,70313, (c) achar as raízes de p(x) e (d) comparar a raiz negativa de p com a aproximação de f.
Para achar as raízes de p(x)=-0,690364x^{2}+0,9417566x+1=0 usamos a fórmula de Bhaskara. Obtemos
x\approx2,066\quad\text{e}\quad x\approx-0,7026.
Passo 5
A raiz negativa de p é x\approx-0,7026, muito próxima de -0,70313:
\bigl|-0,7026-(-0,70313)\bigr|\approx0,00053.
Resposta
(a) p(x)=-0,690364\,x^{2}+0,9417566\,x+1.
(b) E(-0,70313)\approx0,00442.
(c) As raízes são x\approx2,066 e x\approx-0,7026.
(d) A raiz negativa de p, -0,7026, difere da aproximação de f, -0,70313, em apenas cerca de 5{,}3\times10^{-4}.