Desenvolver em série de Mac-laurin.
f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Isso cai no conteúdo de séries de potências e, em particular, no uso do teorema do binômio generalizado para expoentes não inteiros (ou negativos). Vamos usar a expansão
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n},\quad |x|<1,
onde
\displaystyle\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 2

Aplicamos esse resultado com \alpha=-2. Primeiro, escrevemos
(1+x)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-2}{n}x^{n}.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente geral:
\binom{-2}{n} =\frac{(-2)(-3)\cdots(-2-n+1)}{n!} =\frac{(-1)^n\,2\cdot3\cdots(n+1)}{n!} =(-1)^n\,\frac{(n+1)!}{n!} =(-1)^n\,(n+1).
Logo,
(1+x)^{-2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,(n+1)\,x^n.

Passo 4

Para fixar a ideia, os primeiros termos são
1 -2x +3x^2 -4x^3 +5x^4 -\cdots.

Resposta

\frac{1}{(1+x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,(n+1)\,x^n,\quad |x|<1.

Exercícios relacionados