Desenvolver em série de Mac-laurin.
f(x)=\frac{x}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Maclaurin a função
f(x)=\frac{x}{1-x}.
O conteúdo aqui é séries de potências (Maclaurin é Taylor em torno de 0), e vamos aproveitar a expansão da série geométrica para construir a série de f(x).

Passo 2

Lembrando a série geométrica básica: para \lvert x\rvert<1 vale
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.
Isso decorre de
1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}.

Passo 3

Basta agora multiplicar essa expansão por x, pois
f(x)=\frac{x}{1-x}=x\cdot\frac{1}{1-x}.
Multiplicando termo a termo, obtemos
\frac{x}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}.

Passo 4

Para escrever no formato habitual, reindexamos: seja k=n+1, então quando n vai de 0 a \infty, k vai de 1 a \infty. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\sum_{k=1}^{\infty}x^k.
A série de Maclaurin de f(x) é, portanto,
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}x^k=x + x^2 + x^3 + \cdots,
com raio de convergência \lvert x\rvert<1.

Resposta

\frac{x}{1-x}=\sum_{k=1}^{\infty}x^k = x + x^2 + x^3 + \cdots,\quad \lvert x\rvert<1.

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