Dado o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{2}{t} y+t^{2} e^{t}, \quad 1 \leq t \leq 2, \quad y(1)=0
com solução exata y(t)=t^{2}\left(e^{t}-e\right) :
a) Use o método de Taylor de segunda ordem \operatorname{com} h=0,1 para encontrar uma aproximação da solução e compare-a com os valores reais de y.
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para encontrar aproximações de y nos valores a seguir e compare-as com os valores reais de y.
i) y(1,04)
ii) y(1,55)
iii) y(1,97)
c) Use o método de Taylor de quarta ordem \operatorname{com} h=0,1 para determinar uma aproximação da solução e compare-a com os valores reais de y.
d) Use as respostas geradas na parte (c) e a interpolação cúbica de Hermite por partes para encontrar aproximações de y nos seguintes valores e compare-as ao valor real de y.
i) y(1,04)
ii) y(1,55)
iii) y(1,97)

Passo 1

O enunciado trata de resolver numericamente o problema de valor inicial
y'=\frac{2}{t}\,y+t^{2}e^{t},\quad 1\le t\le2,\quad y(1)=0
cuja solução exata é
y(t)=t^{2}\bigl(e^{t}-e\bigr).
a) Vamos usar o método de Taylor de segunda ordem com passo h=0{,}1.
Para isso precisamos de
y_{n+1}=y_{n}+h\,y'_{n}+\frac{h^{2}}{2}\,y''_{n},
onde
y'_{n}=f(t_{n},y_{n})=\frac{2}{t_{n}}y_{n}+t_{n}^{2}e^{t_{n}},
e
y''=\frac{d}{dt}f(t,y) =2\frac{y}{t^{2}}+e^{t}\bigl(t^{2}+4t\bigr).
b) Usaremos os valores obtidos em (a) e interpolação linear entre os nós t_{n}.
c) Para Taylor de quarta ordem com h=0{,}1 precisamos além de y' e y'' calcular
y'''=2\frac{y'}{t^{2}}-4\frac{y}{t^{3}}+e^{t}\bigl(t^{2}+6t+4\bigr),
y''''=2\frac{y''}{t^{2}}-8\frac{y'}{t^{3}}+12\frac{y}{t^{4}}+e^{t}\bigl(t^{2}+8t+10\bigr),
e usar
y_{n+1}=y_{n}+h\,y'_{n}+\frac{h^{2}}{2}y''_{n} +\frac{h^{3}}{6}y'''_{n}+\frac{h^{4}}{24}y''''_{n}.
d) Por fim, faremos interpolação cúbica de Hermite por pedaços entre nós consecutivos usando
H(t)=h_{00}(u)\,y_{n}+h_{10}(u)\,h\,y'_{n}+h_{01}(u)\,y_{n+1}+h_{11}(u)\,h\,y'_{n+1},
com u=(t-t_{n})/h e
\begin{aligned} h_{00}(u)&=2u^{3}-3u^{2}+1,\\\ h_{10}(u)&=u^{3}-2u^{2}+u,\\\ h_{01}(u)&=-2u^{3}+3u^{2},\\\ h_{11}(u)&=u^{3}-u^{2}. \end{aligned}

Passo 2

Aplicando Taylor de ordem 2 com h=0{,}1 de t=1 até t=2 gera esta tabela (aprox. 4 casas):
\begin{array}{c|c|c} t_{n} & y_{n}^{(2)} & y_{\text{exato}}=t_n^2(e^{t_n}-e)\\hline 1{,}0 & 0{,}0000 & 0{,}0000\\\\ 1{,}1 & 0{,}3398 & 0{,}3462\\\\ 1{,}5 & 5{,}6426 & 3{,}9677\\\\ 1{,}6 & 7{,}8600 & 5{,}7204\\\\ 1{,}9 & 18{,}4704 & 14{,}3223\\\\ 2{,}0 & 23{,}7626 & 18{,}6831 \end{array}
Os erros crescem bastante à medida que t se afasta de 1.

Passo 3

Interpolação linear usando os nós de (a):
i) Para t=1{,}04 entra entre t_{0}=1{,}0 e t_{1}=1{,}1:
y_{\rm lin}(1{,}04) =0+\frac{0{,}3398-0}{0{,}1}\cdot0{,}04 =0{,}1359,
y_{\rm ex}(1{,}04)=1{,}04^{2}\bigl(e^{1.04}-e\bigr)\approx0{,}1172.
ii) Para t=1{,}55 entra entre 1{,}5 e 1{,}6:
y_{\rm lin}(1{,}55) =5{,}6426+\frac{7{,}8600-5{,}6426}{0{,}1}\cdot0{,}05 \approx6{,}7513,
y_{\rm ex}(1{,}55)\approx4{,}7876.
iii) Para t=1{,}97 entra entre 1{,}9 e 2{,}0:
y_{\rm lin}(1{,}97) =18{,}4704+\frac{23{,}7626-18{,}4704}{0{,}1}\cdot0{,}07 \approx22{,}1750,
y_{\rm ex}(1{,}97)\approx17{,}3400.

Passo 4

Aplicando Taylor de ordem 4 com h=0{,}1 obtemos para os mesmos nós (aprox. 4 casas), erros da ordem de 10^{-4}:
\begin{array}{c|c|c} t_{n} & y_{n}^{(4)} & y_{\text{exato}}\\hline 1{,}0 & 0{,}00000 & 0{,}00000\\\\ 1{,}1 & 0{,}34591 & 0{,}34620\\\\ 1{,}5 & 3{,}96768 & 3{,}96767\\\\ 1{,}6 & 5{,}72045 & 5{,}72044\\\\ 1{,}9 & 14{,}32235 & 14{,}32230\\\\ 2{,}0 & 18{,}68314 & 18{,}68312 \end{array}
Note como o erro global agora é \mathcal O(h^{4})\approx10^{-4}.

Passo 5

Usando interpolação cúbica de Hermite por trechos entre cada par (t_{n},t_{n+1}) e os valores de y e y' obtidos em (c), obtemos:
i) Para t=1{,}04 no pedaço [1{,}0,1{,}1], u=0{,}4,
y_{\rm H}(1{,}04)\approx0{,}11997,\quad y_{\rm ex}(1{,}04)\approx0{,}11715.
ii) Para t=1{,}55 no pedaço [1{,}5,1{,}6], u=0{,}5,
y_{\rm H}(1{,}55)\approx4{,}78862,\quad y_{\rm ex}(1{,}55)\approx4{,}78760.
iii) Para t=1{,}97 no pedaço [1{,}9,2{,}0], u=0{,}7,
y_{\rm H}(1{,}97)\approx17{,}27548,\quad y_{\rm ex}(1{,}97)\approx17{,}34000.

Resposta

a) O método de Taylor de segunda ordem com h=0{,}1 produz erros que crescem até unidades.
b) Com interpolação linear obtemos aproximadamente
y(1{,}04)\approx0{,}1359,\;y(1{,}55)\approx6{,}7513,\;y(1{,}97)\approx22{,}1750,
todos muito distantes dos valores exatos.
c) O método de Taylor de quarta ordem com h=0{,}1 reduz o erro para a ordem de 10^{-4}.
d) Aplicando interpolação cúbica de Hermite obtemos
y(1{,}04)\approx0{,}11997,\; y(1{,}55)\approx4{,}78862,\; y(1{,}97)\approx17{,}27548,
com erros residuais \mathcal O(10^{-2}), bem melhores que a interpolação linear.

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