Dado o problema de valor inicial
com solução exata
:
a) Use o método de Taylor de segunda ordem
para encontrar uma aproximação da solução e compare-a com os valores reais de
.
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para encontrar aproximações de
nos valores a seguir e compare-as com os valores reais de
.
i)
ii)
iii)
c) Use o método de Taylor de quarta ordem
para determinar uma aproximação da solução e compare-a com os valores reais de
.
d) Use as respostas geradas na parte (c) e a interpolação cúbica de Hermite por partes para encontrar aproximações de
nos seguintes valores e compare-as ao valor real de
.
i)
ii)
iii)
a) Use o método de Taylor de segunda ordem
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para encontrar aproximações de
i)
ii)
iii)
c) Use o método de Taylor de quarta ordem
d) Use as respostas geradas na parte (c) e a interpolação cúbica de Hermite por partes para encontrar aproximações de
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado trata de resolver numericamente o problema de valor inicial
cuja solução exata é
a) Vamos usar o método de Taylor de segunda ordem com passo
.
Para isso precisamos de
Para isso precisamos de
onde
e
b) Usaremos os valores obtidos em (a) e interpolação linear entre os nós
.
c) Para Taylor de quarta ordem com precisamos além de
e
calcular
c) Para Taylor de quarta ordem com
e usar
d) Por fim, faremos interpolação cúbica de Hermite por pedaços entre nós consecutivos usando
com
e
Passo 2
Aplicando Taylor de ordem 2 com
de
até
gera esta tabela (aprox. 4 casas):
Os erros crescem bastante à medida que
se afasta de 1.
Passo 3
Interpolação linear usando os nós de (a):
i) Para entra entre
e
:
i) Para
ii) Para
entra entre
e
:
iii) Para
entra entre
e
:
Passo 4
Aplicando Taylor de ordem 4 com
obtemos para os mesmos nós (aprox. 4 casas), erros da ordem de
:
Note como o erro global agora é
.
Passo 5
Usando interpolação cúbica de Hermite por trechos entre cada par
e os valores de
e
obtidos em (c), obtemos:
i) Para no pedaço
,
,
i) Para
ii) Para
no pedaço
,
,
iii) Para
no pedaço
,
,
Resposta
a) O método de Taylor de segunda ordem com
produz erros que crescem até unidades.
b) Com interpolação linear obtemos aproximadamente
b) Com interpolação linear obtemos aproximadamente
todos muito distantes dos valores exatos.
c) O método de Taylor de quarta ordem com reduz o erro para a ordem de
.
d) Aplicando interpolação cúbica de Hermite obtemos
c) O método de Taylor de quarta ordem com
d) Aplicando interpolação cúbica de Hermite obtemos
com erros residuais
, bem melhores que a interpolação linear.