01 . Se n é um inteiro tal que 2 \leq n \leq 2024, para quantos valores de n o produto \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{n}\right) é um inteiro positivo?
a) 0
b) 1
c) 1011
d) 1012
e) NDA

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: n é um inteiro tal que 2 \leq n \leq 2024.
  • Dado: o produto considerado é \displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right).
  • Pedido: contar para quantos valores de n nesse intervalo o produto acima é um inteiro positivo.

Passo 2

Primeiro, simplificar cada fator do produto para ver se há uma forma mais simples (isso é uma técnica comum: transformar produtos em algo telescópico).
  • Para cada k com 2\le k\le n vale
1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}.
  • Portanto o produto fica
\prod_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}.

Passo 3

Agora vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (telescópico):
\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdots\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n+1}{n}.
Observe que em cada fração o numerador cancela com o denominador da fração seguinte. Após cancelar todos os termos intermediários sobra apenas:
\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{n+1}{2}.
Isso é uma forma muito simples: o produto telescopa e reduz a uma única fração.

Passo 4

Agora precisamos saber quando \dfrac{n+1}{2} é um inteiro positivo. Um número racional \dfrac{n+1}{2} é inteiro exatamente quando o numerador é divisível por 2. Ou seja, \dfrac{n+1}{2} é inteiro se, e somente se, n+1 for par.
  • A condição " n+1 é par" é equivalente a " n é ímpar". Em linguagem algébrica: n é ímpar se existe inteiro m tal que n=2m+1. Para tais n tem-se \dfrac{n+1}{2}=m+1, que é inteiro.
Dou dois exemplos rápidos para fixar:
  • n=3 (ímpar): \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2, inteiro.
  • n=4 (par): \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{5}{2}, não inteiro.
Portanto o produto é inteiro exatamente para os n ímpares do intervalo dado.

Passo 5

Restou contar quantos inteiros ímpares existem no intervalo 2\le n\le 2024. Os inteiros ímpares nesse intervalo vão de 3 até 2023 (inclusive). Para contar quantos termos tem uma progressão aritmética com razão 2 usamos a fórmula
\text{nº de termos}=\frac{\text{último}-\text{primeiro}}{2}+1.ºú
Aplicando aos extremos 3 e 2023:
\frac{2023-3}{2}+1=\frac{2020}{2}+1=1010+1=1011.
Outra forma de ver: o número de ímpares até 2023 é \dfrac{2023+1}{2}=1012; subtraindo o único ímpar menor que 2 (que é 1) obtemos 1012-1=1011.

Resposta

c) 1011

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