01 . Se
é um inteiro tal que
, para quantos valores de
o produto
é um inteiro positivo?
a) 0
b) 1
c) 1011
d) 1012
e) NDA
a) 0
b) 1
c) 1011
d) 1012
e) NDA
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é um inteiro tal que . - Dado: o produto considerado é
. - Pedido: contar para quantos valores de
nesse intervalo o produto acima é um inteiro positivo.
Passo 2
Primeiro, simplificar cada fator do produto para ver se há uma forma mais simples (isso é uma técnica comum: transformar produtos em algo telescópico).
- Para cada
com vale
- Portanto o produto fica
Passo 3
Agora vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (telescópico):
Observe que em cada fração o numerador cancela com o denominador da fração seguinte. Após cancelar todos os termos intermediários sobra apenas:
Isso é uma forma muito simples: o produto telescopa e reduz a uma única fração.
Passo 4
Agora precisamos saber quando
é um inteiro positivo. Um número racional
é inteiro exatamente quando o numerador é divisível por
. Ou seja,
é inteiro se, e somente se,
for par.
- A condição "
é par" é equivalente a " é ímpar". Em linguagem algébrica: é ímpar se existe inteiro tal que . Para tais tem-se , que é inteiro.
Dou dois exemplos rápidos para fixar:
-
(ímpar): , inteiro. -
(par): , não inteiro.
Portanto o produto é inteiro exatamente para os
ímpares do intervalo dado.
Passo 5
Restou contar quantos inteiros ímpares existem no intervalo
. Os inteiros ímpares nesse intervalo vão de
até
(inclusive). Para contar quantos termos tem uma progressão aritmética com razão
usamos a fórmula
Aplicando aos extremos
e
:
Outra forma de ver: o número de ímpares até
é
; subtraindo o único ímpar menor que
(que é
) obtemos
.
Resposta
c) 1011