QUESTÃO 02 : Faça o estudo das funções abaixo. f(x)=|x-3|+4.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=|x-3|+4 e pede o “estudo da função”. Vou listar claramente o que vou determinar (tudo o que o enunciado normalmente exige num “estudo de função”):
Domínio de f.
Imagem (conjunto-valor, intervalo dos valores que f assume).
Interseções com os eixos (zeros / intercepto em y e em x).
Reescrever a função sem valor absoluto (forma por partes).
Monotonicidade (onde é crescente/decrescente).
Extremos (mínimos/máximos).
Continuidade e diferenciabilidade (existência da derivada e derivada por partes).
Paridade (se é par, ímpar ou nenhuma).
Descrição do gráfico (forma, vértice, inclinações).
Nada mais foi dado; vou usar essas informações para estudar a função passo a passo.
Passo 2
Entender o valor absoluto e reescrever a função por partes (muito importante para resolver tudo).
Lembrete: para qualquer número real t\),
\[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui t=x-3\]. Então:
- Se \[x-3\ge 0 (ou seja, x\ge 3), tem-se |x-3|=x-3, e portanto
f(x)=x-3+4=x+1\quad\text{para }x\ge 3.
Se x-3<0 (ou seja, x<3), tem-se |x-3|=-(x-3)=3-x, e portanto
Explicação didática: transformamos o valor absoluto em duas expressões lineares porque a expressão dentro do sinal de módulo muda de sinal em (x=3]. Essa forma por partes é a base para toda a análise seguinte.]
Passo 3
Determinar o domínio e verificar continuidade.
Dominío: ambas as expressões 7-x e x+1 são definidas para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Continuidade: cada ramo é uma função linear, logo contínua em seu intervalo. Checando em x=3:
As duas limites laterais coincidem e igualam f(3), portanto f é contínua em x=3. Conclusão: f é contínua em todo \mathbb{R}.
Passo 4
Determinar a imagem (intervalo de valores).
Observação: |x-3|\ge 0 para todo x. Então f(x)=|x-3|+4\ge 0+4=4.
Existe x tal que f(x)=4? Sim: f(3)=|0|+4=4.
Portanto o menor valor de f é 4 e f assume todos os valores maiores que 4 (porque os ramos lineares crescem sem limite em ambos os lados). Logo
\mathrm{Im}(f)=[4,\infty).
Passo 5
Encontrar interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo y (tomar x=0):
f(0)=|0-3|+4=3+4=7.
Logo o ponto (0,7) é o intercepto em y.
Zeros (intercepto com eixo x): resolver f(x)=0, isto é |x-3|+4=0. Isso implica |x-3|=-4, impossível porque módulo é \ge 0. Portanto não existem zeros reais. Conclusão: sem intercepto com o eixo x.
Passo 6
Monotonicidade e extremos (usando a forma por partes).
Para x<3: f(x)=7-x. Esta é uma reta com coeficiente angular -1, portanto é estritamente decrescente em (-\infty,3).
Para x>3: f(x)=x+1. Esta é uma reta com coeficiente angular +1, portanto é estritamente crescente em (3,\infty).
No ponto x=3 há mudança de comportamento: como a função decresce até 3 e cresce a partir de 3, x=3 é um mínimo absoluto (e também mínimo relativo). O valor mínimo é f(3)=4.
Resumindo monotonicidade:
f é estritamente decrescente em (-\infty,3).
f é estritamente crescente em (3,\infty).
Não há máximos finitos (tende a +\infty quando |x|\to\infty).
Passo 7
Diferenciabilidade e derivada (por partes) — mostrar por que há quebra no ponto x=3\).
- Para \(x<3\), \(f(x)=7-x\) tem derivada \(f'(x)=-1\).
- Para \(x>3\), \(f(x)=x+1\) tem derivada \(f'(x)=+1\).
- Cálculo das derivadas laterais em \(x=3\):
\[f'_-(3)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(7-(3+h))-4}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{4-h-4}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1,
Didática extra curta: isso é típico de |\cdot|\] — a função \(|x| tem derivada -1 à esquerda de 0 e +1 à direita de 0; aqui o ponto de não diferenciabilidade é deslocado para x=3.]
Passo 8
Paridade e forma do gráfico.
Paridade: Para testar se f é par ou ímpar, comparar f(-x) com f(x):
Forma do gráfico: é um “V” (gráfico do módulo) deslocado. Mais precisamente, é o gráfico de |x| deslocado 3 unidades à direita e 4 unidades para cima. O vértice (ponto da ponta do V) está em (3,4). As retas que formam o V têm inclinações -1 (ramo à esquerda) e +1 (ramo à direita).
Passo 9
Resumo prático (o que leva para a prova — memorizando os pontos-chave).
Reescreva |x-3| por partes: isso já resolve quase tudo.
Procure o vértice: onde o argumento do módulo é zero (x=3), aí está o mínimo.
Sinais das inclinações: coeficientes das retas nas expressões por partes (aqui -1 e +1).
Verifique continuidade (limites laterais) e diferenciabilidade (derivadas laterais) no ponto de quebra.
Interceptos rápidos: y-intercepto sendo f(0) e zeros resolvendo f(x)=0 (aqui inexistentes).
Resposta
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\)
\(\mathrm{Im}(f)=[4,\infty)\)
Intercepto em \(y\): \((0,7)\)
Zeros: nenhum (não existe \(x\) tal que \(f(x)=0\))
Forma por partes: \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}7-x,&x<3,\\[4pt]x+1,&x\ge 3,\end{cases}
Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,3)\) e estritamente crescente em \((3,\infty)\)
Extremo: mínimo absoluto em \(x=3\) com \(f(3)=4\)
Derivada: \(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-1,&x<3,\\[4pt]\text{não existe},&x=3,\\[4pt]+1,&x>3,\end{cases}
Continuidade: contínua em todo \mathbb{R}
Paridade: nem par nem ímpar
Gráfico: V com vértice em (3,4), ramos com inclinações -1 e +1.]