QUESTÃO 02 : Faça o estudo das funções abaixo.
f(x)=|x-3|+4.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x-3|+4 e pede o “estudo da função”. Vou listar claramente o que vou determinar (tudo o que o enunciado normalmente exige num “estudo de função”):
  • Domínio de f.
  • Imagem (conjunto-valor, intervalo dos valores que f assume).
  • Interseções com os eixos (zeros / intercepto em y e em x).
  • Reescrever a função sem valor absoluto (forma por partes).
  • Monotonicidade (onde é crescente/decrescente).
  • Extremos (mínimos/máximos).
  • Continuidade e diferenciabilidade (existência da derivada e derivada por partes).
  • Paridade (se é par, ímpar ou nenhuma).
  • Descrição do gráfico (forma, vértice, inclinações).
    Nada mais foi dado; vou usar essas informações para estudar a função passo a passo.

Passo 2

Entender o valor absoluto e reescrever a função por partes (muito importante para resolver tudo).
  • Lembrete: para qualquer número real t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui t=x-3\]. Então: - Se \[x-3\ge 0 (ou seja, x\ge 3), tem-se |x-3|=x-3, e portanto
f(x)=x-3+4=x+1\quad\text{para }x\ge 3.
  • Se x-3<0 (ou seja, x<3), tem-se |x-3|=-(x-3)=3-x, e portanto
f(x)=3-x+4=7-x\quad\text{para }x<3.
Portanto a escrita por partes fica:
f(x)= \begin{cases} 7-x, & x<3,\\[4pt] x+1, & x\ge 3. \end{cases}
Explicação didática: transformamos o valor absoluto em duas expressões lineares porque a expressão dentro do sinal de módulo muda de sinal em (x=3]. Essa forma por partes é a base para toda a análise seguinte.]

Passo 3

Determinar o domínio e verificar continuidade.
  • Dominío: ambas as expressões 7-x e x+1 são definidas para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Continuidade: cada ramo é uma função linear, logo contínua em seu intervalo. Checando em x=3:
\lim_{x\to 3^-}f(x)=7-3=4,\qquad \lim_{x\to 3^+}f(x)=3+1=4,\qquad f(3)=|3-3|+4=4.
As duas limites laterais coincidem e igualam f(3), portanto f é contínua em x=3. Conclusão: f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Determinar a imagem (intervalo de valores).
  • Observação: |x-3|\ge 0 para todo x. Então f(x)=|x-3|+4\ge 0+4=4.
  • Existe x tal que f(x)=4? Sim: f(3)=|0|+4=4.
    Portanto o menor valor de f é 4 e f assume todos os valores maiores que 4 (porque os ramos lineares crescem sem limite em ambos os lados). Logo
\mathrm{Im}(f)=[4,\infty).

Passo 5

Encontrar interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y (tomar x=0):
f(0)=|0-3|+4=3+4=7.
Logo o ponto (0,7) é o intercepto em y.
  • Zeros (intercepto com eixo x): resolver f(x)=0, isto é |x-3|+4=0. Isso implica |x-3|=-4, impossível porque módulo é \ge 0. Portanto não existem zeros reais. Conclusão: sem intercepto com o eixo x.

Passo 6

Monotonicidade e extremos (usando a forma por partes).
  • Para x<3: f(x)=7-x. Esta é uma reta com coeficiente angular -1, portanto é estritamente decrescente em (-\infty,3).
  • Para x>3: f(x)=x+1. Esta é uma reta com coeficiente angular +1, portanto é estritamente crescente em (3,\infty).
  • No ponto x=3 há mudança de comportamento: como a função decresce até 3 e cresce a partir de 3, x=3 é um mínimo absoluto (e também mínimo relativo). O valor mínimo é f(3)=4.
    Resumindo monotonicidade:
  • f é estritamente decrescente em (-\infty,3).
  • f é estritamente crescente em (3,\infty).
  • Não há máximos finitos (tende a +\infty quando |x|\to\infty).

Passo 7

Diferenciabilidade e derivada (por partes) — mostrar por que há quebra no ponto x=3\). - Para \(x<3\), \(f(x)=7-x\) tem derivada \(f'(x)=-1\). - Para \(x>3\), \(f(x)=x+1\) tem derivada \(f'(x)=+1\). - Cálculo das derivadas laterais em \(x=3\): \[f'_-(3)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(7-(3+h))-4}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{4-h-4}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1,
f'_+(3)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(3+h+1)-4}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=+1.
Como f'_-(3)\neq f'_+(3), a derivada não existe em x=3. Conclusão:
f'(x)= \begin{cases} -1, & x<3,\\[4pt] \text{não existe}, & x=3,\\[4pt] +1, & x>3. \end{cases}ã
Didática extra curta: isso é típico de |\cdot|\] — a função \(|x| tem derivada -1 à esquerda de 0 e +1 à direita de 0; aqui o ponto de não diferenciabilidade é deslocado para x=3.]

Passo 8

Paridade e forma do gráfico.
  • Paridade: Para testar se f é par ou ímpar, comparar f(-x) com f(x):
f(-x)=| -x-3|+4=|x+3|+4\neq f(x)\quad\text{em geral},
e f(-x)\neq -f(x). Logo f não é par nem ímpar.
  • Forma do gráfico: é um “V” (gráfico do módulo) deslocado. Mais precisamente, é o gráfico de |x| deslocado 3 unidades à direita e 4 unidades para cima. O vértice (ponto da ponta do V) está em (3,4). As retas que formam o V têm inclinações -1 (ramo à esquerda) e +1 (ramo à direita).

Passo 9

Resumo prático (o que leva para a prova — memorizando os pontos-chave).
  • Reescreva |x-3| por partes: isso já resolve quase tudo.
  • Procure o vértice: onde o argumento do módulo é zero ( x=3), aí está o mínimo.
  • Sinais das inclinações: coeficientes das retas nas expressões por partes (aqui -1 e +1).
  • Verifique continuidade (limites laterais) e diferenciabilidade (derivadas laterais) no ponto de quebra.
  • Interceptos rápidos: y-intercepto sendo f(0) e zeros resolvendo f(x)=0 (aqui inexistentes).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\) \(\mathrm{Im}(f)=[4,\infty)\) Intercepto em \(y\): \((0,7)\) Zeros: nenhum (não existe \(x\) tal que \(f(x)=0\)) Forma por partes: \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}7-x,&x<3,\\[4pt]x+1,&x\ge 3,\end{cases}
Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,3)\) e estritamente crescente em \((3,\infty)\) Extremo: mínimo absoluto em \(x=3\) com \(f(3)=4\) Derivada: \(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-1,&x<3,\\[4pt]\text{não existe},&x=3,\\[4pt]+1,&x>3,\end{cases}
Continuidade: contínua em todo \mathbb{R}
Paridade: nem par nem ímpar
Gráfico: V com vértice em (3,4), ramos com inclinações -1 e +1.]

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