QUESTÃO 02 : Faça o estudo das funções abaixo.
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já temos. O enunciado fornece a função
As perguntas que vamos responder no estudo são (tudo o que costuma entrar num “estudo de função”): domínio; paridade/simetria; zeros (raízes); sinal da função; pontos críticos e monotonicidade; extremos (mínimos/máximos) e seus valores; continuidade e diferenciabilidade; imagem (contradomínio efetivo). Não começo a resolver ainda, apenas enumerei o que vamos achar.
Passo 2
Dominio e transformação útil. A função usa apenas
e polinômio em
, portanto
está definido para todo
. Logo o domínio é
Uma observação importante para simplificar: é conveniente fazer a substituição
Definindo
para
, tem-se
Trabalhar com
facilita porque é um polinômio quadrático em
.
Passo 3
Paridade / simetria. Como
depende apenas de
, temos para todo
Portanto
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
). Isso já diz que o comportamento para
espelha o de
.
Passo 4
Estudo da quadrática em
. Vamos analisar
Fatora-se facilmente:
As raízes (em
) são
e
. Como
, essas soluções em
geram soluções em
:
Se
então
.
Se então
.
Se
Logo as raízes da função
são
Passo 5
Sinal da função (análise pelo parâmetro
). A parábola
tem coeficiente quadrático positivo (
), então ela é positiva para
, negativa para
e positiva para
. Como
, traduz-se em
assim:
-
para (isto é, ); -
para ou (isto é, ); -
para (isto é, ); -
para (isto é, ).
É útil conferir um valor:
, coerente com
.
Passo 6
Mínimo da função. Para a quadrática
o vértice em termos de
está em
O valor mínimo de
é
Como
, esse valor é atingido quando
, ou seja em
. Portanto
tem valor mínimo global
Não existe máximo global porque
quando
, logo
quando
.
Passo 7
Expressão centrada e imagem. Podemos reescrever para ver claramente o mínimo:
Dessa forma fica óbvio que o menor valor possível é
e que a imagem (contradomínio real atingido) é
Passo 8
Monotonicidade (estudo detalhado, usando derivadas por ramo). Como
é par, basta estudar em
e espelhar.
Para
temos
e
Logo em
:
-
quando (função decresce nesse intervalo), -
quando (função cresce nesse intervalo).
Para
temos
e
Assim em
:
-
quando (decresce em ), -
quando (cresce em ).
Juntando e lembrando a simetria, os intervalos de monotonicidade são:
- Decrescente em
e em . - Crescente em
e em .
Passo 9
Pontos críticos e classificação. Pontos onde a monotonicidade muda são
,
e
.
- Em
a função passa de decrescente para crescente, portanto são mínimos locais — e de fato são mínimos globais com . - Em
a derivada lateral pela esquerda é e pela direita ; há troca de sinal de crescente para decrescente, logo é um máximo local. O valor é . Como não existe máximo global (a função cresce sem limite para ), esse é apenas um máximo local.
Passo 10
Continuidade e diferenciabilidade. A função é composição de funções contínuas (
e polinômio), logo é contínua em todo
. Quanto à diferenciabilidade:
é diferenciável em todo
(as fórmulas
e
valem), mas em
as derivadas laterais são diferentes (
e
), então
não é diferenciável em
.
Resposta
Domínio:
Paridade: é par (simétrica)
Zeross:
Sinal: em
;
em
;
em
Extremos: mínimos globais em com
; máximo local em
com
Monotonicidade: decrescente em e em
; crescente em
e em
Continuidade e diferenciabilidade: é contínua em
; diferenciável em
, não diferenciável em
Imagem:
Paridade:
Zeross:
Sinal:
Extremos: mínimos globais em
Monotonicidade: decrescente em
Continuidade e diferenciabilidade:
Imagem: