QUESTÃO 02 : Faça o estudo das funções abaixo.
f(x)=|x|^{2}-5|x|+6.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já temos. O enunciado fornece a função
f(x)=|x|^{2}-5|x|+6
As perguntas que vamos responder no estudo são (tudo o que costuma entrar num “estudo de função”): domínio; paridade/simetria; zeros (raízes); sinal da função; pontos críticos e monotonicidade; extremos (mínimos/máximos) e seus valores; continuidade e diferenciabilidade; imagem (contradomínio efetivo). Não começo a resolver ainda, apenas enumerei o que vamos achar.

Passo 2

Dominio e transformação útil. A função usa apenas |x| e polinômio em |x|, portanto |x| está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Uma observação importante para simplificar: é conveniente fazer a substituição
t = |x|,\qquad t\ge 0.
Definindo g(t)=t^{2}-5t+6 para t\ge 0, tem-se
f(x)=g(|x|).
Trabalhar com g(t) facilita porque é um polinômio quadrático em t.

Passo 3

Paridade / simetria. Como f(x) depende apenas de |x|, temos para todo x
f(-x)=g(|-x|)=g(|x|)=f(x).
Portanto f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y). Isso já diz que o comportamento para x\ge 0 espelha o de x\le 0.

Passo 4

Estudo da quadrática em t. Vamos analisar
g(t)=t^{2}-5t+6.
Fatora-se facilmente:
g(t)=(t-2)(t-3).
As raízes (em t) são t=2 e t=3. Como t=|x|\ge 0, essas soluções em t geram soluções em x:
Se |x|=2 então x=\pm 2.
Se |x|=3 então x=\pm 3.
Logo as raízes da função f são
x=-3,\,-2,\;2,\;3.

Passo 5

Sinal da função (análise pelo parâmetro t). A parábola g(t) tem coeficiente quadrático positivo ( 1), então ela é positiva para t<2, negativa para 2<t<3 e positiva para t>3. Como t=|x|, traduz-se em x assim:
  • f(x)>0 para |x|<2 (isto é, x\in(-2,2));
  • f(x)=0 para |x|=2 ou |x|=3 (isto é, x=\pm2,\pm3);
  • f(x)<0 para 2<|x|<3 (isto é, x\in(-3,-2)\cup(2,3));
  • f(x)>0 para |x|>3 (isto é, x\in(-\infty,-3)\cup(3,\infty)).
É útil conferir um valor: f(0)=6>0, coerente com |0|<2.

Passo 6

Mínimo da função. Para a quadrática g(t)=t^{2}-5t+6 o vértice em termos de t está em
t_v=\frac{5}{2}.
O valor mínimo de g é
g\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}-5\cdot\frac{5}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=\frac{25-50+24}{4}=-\frac{1}{4}.
Como t=\lvert x\rvert, esse valor é atingido quando |x|=\tfrac{5}{2}, ou seja em x=\pm \tfrac{5}{2}. Portanto f tem valor mínimo global
f\!\left(\pm \tfrac{5}{2}\right)=-\tfrac{1}{4}.
Não existe máximo global porque g(t)\to\infty quando t\to\infty, logo f(x)\to\infty quando |x|\to\infty.

Passo 7

Expressão centrada e imagem. Podemos reescrever para ver claramente o mínimo:
f(x)=\bigl(|x|-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Dessa forma fica óbvio que o menor valor possível é -\tfrac{1}{4} e que a imagem (contradomínio real atingido) é
\text{Im}(f)=[-\tfrac{1}{4},\infty).

Passo 8

Monotonicidade (estudo detalhado, usando derivadas por ramo). Como f é par, basta estudar em x\ge 0 e espelhar.
Para x>0 temos |x|=x e
f(x)=x^{2}-5x+6,\qquad f'(x)=2x-5.
Logo em x>0:
  • f'(x)<0 quando 0<x<\tfrac{5}{2} (função decresce nesse intervalo),
  • f'(x)>0 quando x>\tfrac{5}{2} (função cresce nesse intervalo).
Para x<0 temos |x|=-x e
f(x)=x^{2}+5x+6,\qquad f'(x)=2x+5.
Assim em x<0:
  • f'(x)<0 quando x<-\tfrac{5}{2} (decresce em (-\infty,-\tfrac{5}{2})),
  • f'(x)>0 quando -\tfrac{5}{2}<x<0 (cresce em (-\tfrac{5}{2},0)).
Juntando e lembrando a simetria, os intervalos de monotonicidade são:
  • Decrescente em (-\infty,-\tfrac{5}{2}) e em (0,\tfrac{5}{2}).
  • Crescente em (-\tfrac{5}{2},0) e em (\tfrac{5}{2},\infty).

Passo 9

Pontos críticos e classificação. Pontos onde a monotonicidade muda são x=-\tfrac{5}{2}, x=0 e x=\tfrac{5}{2}.
  • Em x=\pm \tfrac{5}{2} a função passa de decrescente para crescente, portanto são mínimos locais — e de fato são mínimos globais com f(\pm \tfrac{5}{2})=-\tfrac{1}{4}.
  • Em x=0 a derivada lateral pela esquerda é f'_-(0)=5 e pela direita f'_+(0)=-5; há troca de sinal de crescente para decrescente, logo x=0 é um máximo local. O valor é f(0)=6. Como não existe máximo global (a função cresce sem limite para |x|\to\infty), esse é apenas um máximo local.

Passo 10

Continuidade e diferenciabilidade. A função é composição de funções contínuas ( |x| e polinômio), logo é contínua em todo \mathbb{R}. Quanto à diferenciabilidade: f é diferenciável em todo x\neq 0 (as fórmulas 2x-5 e 2x+5 valem), mas em x=0 as derivadas laterais são diferentes ( 5 e -5), então f não é diferenciável em x=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Paridade: f é par (simétrica)
Zeross: x=-3,\,-2,\;2,\;3
Sinal: f(x)>0 em (-\infty,-3)\cup(-2,2)\cup(3,\infty); f(x)=0 em \{-3,-2,2,3\}; f(x)<0 em (-3,-2)\cup(2,3)
Extremos: mínimos globais em x=\pm\tfrac{5}{2} com f\!\left(\pm\tfrac{5}{2}\right)=-\tfrac{1}{4}; máximo local em x=0 com f(0)=6
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-\tfrac{5}{2}) e em (0,\tfrac{5}{2}); crescente em (-\tfrac{5}{2},0) e em (\tfrac{5}{2},\infty)
Continuidade e diferenciabilidade: f é contínua em \mathbb{R}; diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{0\}, não diferenciável em x=0
Imagem: [-\tfrac{1}{4},\infty)

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