08 Sejam
e
números reais tais que
. Prove que
Passo 1
Temos
tais que
e queremos mostrar que
Para isso usaremos duas ideias clássicas: a expansão de
e a desigualdade trivial
.
Passo 2
Para obter o limite inferior, note que
Expandindo, vem
Como
, temos
Passo 3
Para o limite superior, aplicamos a desigualdade
em cada par:
e de modo semelhante
Somando essas três desigualdades,