08 Sejam a, b e c números reais tais que a^{2}+b^{2}+c^{2}=1. Prove que
-\frac{1}{2} \leqslant a b+b c+c a \leqslant 1

Passo 1

Temos a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,
e queremos mostrar que
-\tfrac12\le ab+bc+ca\le 1.
Para isso usaremos duas ideias clássicas: a expansão de (a+b+c)^{2}\ge 0 e a desigualdade trivial (x-y)^{2}\ge0.

Passo 2

Para obter o limite inferior, note que
(a+b+c)^{2}\ge 0.
Expandindo, vem
a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\ge0.
Como a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, temos
1+2(ab+bc+ca)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad ab+bc+ca\ge -\tfrac12.

Passo 3

Para o limite superior, aplicamos a desigualdade (x-y)^{2}\ge0 em cada par:
(a-b)^{2}\ge0\\ \Longrightarrow\\ a^{2}+b^{2}\ge2ab \quad\Longrightarrow\quad ab\le\tfrac{a^{2}+b^{2}}{2},
e de modo semelhante
bc\le\tfrac{b^{2}+c^{2}}{2}, \qquad ca\le\tfrac{c^{2}+a^{2}}{2}.
Somando essas três desigualdades,
ab+bc+ca\le \tfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} =1.

Resposta

-\tfrac12\le ab+bc+ca\le 1.

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