01 Suponha que
é uma aproximação de
. Prove que
é sempre uma aproximação melhor.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma aproximação
de
(isto é,
e assumimos
) e pede para mostrar que a quantidade
é sempre uma aproximação melhor, no sentido de
Para isso, vamos calcular
, manipular algebricamente e comparar os módulos.
Passo 2
Calculemos a diferença direta:
Passo 3
No numerador, organizamos os termos:
Como
, temos
e
. Logo,
Passo 4
Substituindo no passo anterior,
Tomando módulo,
Como
e
(pois
), temos
Resposta
Portanto,
o que prova que
é de fato uma aproximação melhor de
.