01 Suponha que r é uma aproximação de \sqrt{2}. Prove que \frac{r+2}{r+1} é sempre uma aproximação melhor.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aproximação r de \sqrt{2} (isto é, r\approx \sqrt{2} e assumimos r>0) e pede para mostrar que a quantidade
f(r)=\frac{r+2}{r+1}
é sempre uma aproximação melhor, no sentido de
\bigl|f(r)-\sqrt{2}\bigr|<\bigl|r-\sqrt{2}\bigr|.
Para isso, vamos calcular f(r)-\sqrt{2}, manipular algebricamente e comparar os módulos.

Passo 2

Calculemos a diferença direta:
f(r)-\sqrt{2} =\frac{r+2}{r+1}-\sqrt{2} =\frac{r+2-(r+1)\sqrt{2}}{r+1}.

Passo 3

No numerador, organizamos os termos:
r+2-(r+1)\sqrt{2} =r+2-r\sqrt{2}-\sqrt{2} =r(1-\sqrt{2})+(2-\sqrt{2}).
Como \sqrt{2}^2=2, temos 2-\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) e 1-\sqrt{2}=-(\sqrt{2}-1). Logo,
r(1-\sqrt{2})+(2-\sqrt{2}) =-(\sqrt{2}-1)\,r+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) =(\sqrt{2}-1)\bigl(\sqrt{2}-r\bigr).

Passo 4

Substituindo no passo anterior,
f(r)-\sqrt{2} =\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-r)}{r+1}.
Tomando módulo,
\bigl|f(r)-\sqrt{2}\bigr| =\frac{\sqrt{2}-1}{r+1}\,\bigl|\sqrt{2}-r\bigr|.
Como \sqrt{2}-1\approx0,414<1 e r+1>1 (pois r>0), temos
\frac{\sqrt{2}-1}{r+1}<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(r)-\sqrt{2}\bigr|<\bigl|\sqrt{2}-r\bigr| =\bigl|r-\sqrt{2}\bigr|.

Resposta

Portanto,
\bigl|\tfrac{r+2}{r+1}-\sqrt{2}\bigr|<\bigl|r-\sqrt{2}\bigr|,
o que prova que \tfrac{r+2}{r+1} é de fato uma aproximação melhor de \sqrt{2}.

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