3 Resolva a equação 2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right)=2^{x}+2^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2\cos\!\biggl(\frac{x^{2}+x}{6}\biggr)=2^{x}+2^{-x}.
O conteúdo envolvido é análise de funções trigonométricas (faixa de valores de \cos) e exponenciais (desigualdade de AM–GM para 2^{x}+2^{-x}).

Passo 2

Observamos que, para todo x\in\mathbb{R},
2^{x}+2^{-x}\;\ge\;2,
pela desigualdade de AM–GM aplicada a 2^{x} e 2^{-x}. A igualdade ocorre se, e somente se,
2^{x}=2^{-x}\;\Longrightarrow\;x=-x\;\Longrightarrow\;x=0.

Passo 3

Por outro lado, como \cos varia entre -1 e 1, temos
2\cos\!\biggl(\frac{x^{2}+x}{6}\biggr)\;\le\;2\cdot 1 =2.

Passo 4

Para que
2\cos\!\biggl(\frac{x^{2}+x}{6}\biggr)=2^{x}+2^{-x},
é necessário que ambos os lados sejam iguais a 2. Assim exigimos simultaneamente
2\cos\!\biggl(\frac{x^{2}+x}{6}\biggr)=2 \quad\text{e}\quad 2^{x}+2^{-x}=2.
A primeira igualdade dá \cos\bigl(\tfrac{x^{2}+x}{6}\bigr)=1, mas mesmo satisfazendo isso, o lado direito só vale 2 quando x=0.

Passo 5

Verificamos em x=0:
2\cos\!\biggl(\frac{0^{2}+0}{6}\biggr)=2\cos(0)=2, \quad 2^{0}+2^{0}=1+1=2,
portanto x=0 satisfaz a equação.

Resposta

A única solução é x=0.

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