04 Se a, b, c são números positivos tais que a^{2}+b^{2}-a b=c^{2}, mostre que
(a-c)(b-c) \leqslant 0 .

Passo 1

O enunciado dá três números positivos a,b,c tais que
a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}
e pede para mostrar
(a-c)(b-c)\le0.
O conteúdo aqui é usar desigualdades entre produtos e quadrados para comparar c^2 com a^2 e b^2, de modo a concluir que c fica entre a e b.

Passo 2

Suponha, sem perda de generalidade, que a\ge b.
Então, como a e b são positivos, temos
ab\ge b^{2} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+b^{2}-ab\le a^{2}+b^{2}-b^{2}=a^{2}
e também
ab\le a^{2} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+b^{2}-ab\ge a^{2}+b^{2}-a^{2}=b^{2}.
Como c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab, obtemos
b^{2}\le c^{2}\le a^{2}.

Passo 3

Das duas desigualdades b^{2}\le c^{2}\le a^{2} e como a,b,c>0, segue
b\le c\le a.
Isto implica
a-c\ge0 \quad\text{e}\quad b-c\le0,
logo
(a-c)(b-c)\le0.

Passo 4

Se em vez de a\ge b tivéssemos b\ge a, o mesmo raciocínio (trocando a por b) mostra que
a\le c\le b \quad\Longrightarrow\quad (a-c)\le0,\;(b-c)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad (a-c)(b-c)\le0.

Resposta

(a-c)(b-c)\le0.

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