11 Considere um triângulo de papel cujos vértices são A, B e C. Os vértices do triângulo médio MNP são os pontos médios de seus lados. Uma pirâmide triangular MNPQ é formada dobrando o triângulo ao longo dos lados do triângulo médio.
(a) Prove que a projeção de Q sobre o plano da base MNP é o ortocentro do triângulo ABC.
(b) Se A=(0,0), B=(34,0), e C=(16,24), qual é o volume da pirâmide?

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo de papel ABC cuja medial é o triângulo MNP, com
M=\text{médio de }BC,\quad N=\text{médio de }CA,\quad P=\text{médio de }AB.ééé
Dobrando as “abas” ABP, BCM e CAN ao longo das arestas de MNP, forma-se uma pirâmide tetraédrica MNPQ.
(a) Preciso mostrar que a projeção ortogonal de Q no plano de MNP é o ortocentro H de ABC.
(b) Com A=(0,0), B=(34,0), C=(16,24), calcular o volume de MNPQ.

Passo 2

(a) A dobra ao longo de, digamos, NP é exatamente a rotação de 180^\circ em torno do eixo NP. Nesse movimento:
  • Todos os pontos de NP ficam fixos.
  • A vai para Q.
  • Como BC\parallel NP, a altura de A em relação a BC (reta perpendicular a BC) é perpendicular também a NP.
    Logo, ao rotacionar essa altura, a reta AD\perp BC (com D\in BC) é levada numa reta que passa por Q, é perpendicular a NP e faz ângulo reto com o plano de MNP. Essa reta rotacionada é exatamente a reta QH, onde H é o ponto de interseção das três altitudes de ABC. Portanto QH\perp plano MNP e seu pé de altura é H.

Passo 3

(b) Primeiro o ortocentro H de ABC. As coordenadas são todas em z=0.
  • A=(0,0).
  • B=(34,0).
  • C=(16,24).
    A reta BC tem inclinação \frac{24-0}{16-34}=-\tfrac{4}{3}, então a altura de A é
y=\frac{3}{4}\,x.
A reta AC tem inclinação \tfrac{24}{16}=\tfrac32, logo a altura de B é
y-0=-\tfrac{2}{3}\,(x-34),\quad\text{i.e. }y=-\tfrac23\,x+\tfrac{68}{3}.
Igualando \tfrac{3}{4}x=-\tfrac23x+\tfrac{68}{3}
vem x=16, y=12.
Logo
H=(16,12,0).

Passo 4

Ainda em z=0, os pontos médios são
M=\bigl(\tfrac{34+16}2,\tfrac{0+24}2,0\bigr)=(25,12,0), \quad N=(8,12,0), \quad P=(17,0,0).
Área do triângulo ABC:
[ABC] =\tfrac12\bigl|\det[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\bigr| =\tfrac12\bigl|\det\begin{pmatrix}34&16\\\ 0&24\end{pmatrix}\bigr| =\tfrac12\,(34\cdot24)=408.
O triângulo medial MNP tem área \tfrac14[ABC]=102.

Passo 5

Para o volume precisamos da altura QH. Usamos o fato de que a rotação de 180^\circ em torno de NP manda A em Q, logo
|AQ|=2\;d\bigl(A,\,NP\bigr),
onde d(A,NP) é a distância de A à reta NP no plano.
Vetor \overrightarrow{NP}=(17-8,\;0-12)=(9,-12), e \overrightarrow{NA}=(0-8,0-12)=(-8,-12).
A área do paralelogramo é \bigl|\det[\overrightarrow{NP},\overrightarrow{NA}]\bigr| =|9\cdot(-12)-(-12)\cdot(-8)|=204.
Como \|\overrightarrow{NP}\|=15,
d(A,NP)=\frac{204}{15}=\frac{68}{5}, \quad |AQ|=2\cdot\frac{68}{5}=\frac{136}{5}.
Na projeção ortogonal QH\perp plano, A\in plano, H é o pé, então em \triangle AQH temos
QH=\sqrt{AQ^2-AH^2} =\sqrt{\Bigl(\tfrac{136}{5}\Bigr)^2-20^2} =\sqrt{\frac{18496}{25}-400} =\frac{12\sqrt{59}}5.

Passo 6

Finalmente o volume da pirâmide de base MNP e altura QH:
V=\frac13\,[MNP]\;\cdot QH =\frac13\cdot102\;\cdot\frac{12\sqrt{59}}5 =\frac{408\sqrt{59}}5.

Resposta

\boxed{\;V(MNPQ)=\frac{408\sqrt{59}}5\;}.

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