11 Considere um triângulo de papel cujos vértices são A, B e C. Os vértices do triângulo médio MNP são os pontos médios de seus lados. Uma pirâmide triangular MNPQ é formada dobrando o triângulo ao longo dos lados do triângulo médio.
(a) Prove que a projeção de Q sobre o plano da base MNP é o ortocentro do triângulo ABC.
(b) Se A=(0,0), B=(34,0), e C=(16,24), qual é o volume da pirâmide?
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo de papel ABC cuja medial é o triângulo MNP, com
M=\text{médio de }BC,\quad N=\text{médio de }CA,\quad P=\text{médio de }AB.
Dobrando as “abas” ABP, BCM e CAN ao longo das arestas de MNP, forma-se uma pirâmide tetraédrica MNPQ.
(a) Preciso mostrar que a projeção ortogonal de Q no plano de MNP é o ortocentro H de ABC.
(b) Com A=(0,0), B=(34,0), C=(16,24), calcular o volume de MNPQ.
Passo 2
(a) A dobra ao longo de, digamos, NP é exatamente a rotação de 180^\circ em torno do eixo NP. Nesse movimento:
Todos os pontos de NP ficam fixos.
A vai para Q.
Como BC\parallel NP, a altura de A em relação a BC (reta perpendicular a BC) é perpendicular também a NP.
Logo, ao rotacionar essa altura, a reta AD\perp BC (com D\in BC) é levada numa reta que passa por Q, é perpendicular a NP e faz ângulo reto com o plano de MNP. Essa reta rotacionada é exatamente a reta QH, onde H é o ponto de interseção das três altitudes de ABC. Portanto QH\perp plano MNP e seu pé de altura é H.
Passo 3
(b) Primeiro o ortocentro H de ABC. As coordenadas são todas em z=0.
A=(0,0).
B=(34,0).
C=(16,24).
A reta BC tem inclinação \frac{24-0}{16-34}=-\tfrac{4}{3}, então a altura de A é
y=\frac{3}{4}\,x.
A reta AC tem inclinação \tfrac{24}{16}=\tfrac32, logo a altura de B é
O triângulo medial MNP tem área \tfrac14[ABC]=102.
Passo 5
Para o volume precisamos da altura QH. Usamos o fato de que a rotação de 180^\circ em torno de NP manda A em Q, logo
|AQ|=2\;d\bigl(A,\,NP\bigr),
onde d(A,NP) é a distância de A à reta NP no plano.
Vetor \overrightarrow{NP}=(17-8,\;0-12)=(9,-12), e \overrightarrow{NA}=(0-8,0-12)=(-8,-12).
A área do paralelogramo é \bigl|\det[\overrightarrow{NP},\overrightarrow{NA}]\bigr|
=|9\cdot(-12)-(-12)\cdot(-8)|=204.
Como \|\overrightarrow{NP}\|=15,