10 De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro regular de aresta a.
(a) Qual é o número de vértices, faces e arestas desse poliedro?
(b) Calcular a área total da superfície do poliedro.
(a) Qual é o número de vértices, faces e arestas desse poliedro?
(b) Calcular a área total da superfície do poliedro.
Passo 1
O enunciado diz que partimos de um tetraedro regular de aresta
e, em cada um dos 4 vértices, cortamos um tetraedro regular de aresta
. O sólido resultante é justamente o tetraedro truncado (um sólido arquimediano), cujos vértices, arestas e faces podemos contar usando as ideias de truncamento em poliedros e a fórmula de Euler, e cuja área total de superfície é a soma das áreas de 4 triângulos de aresta
e 4 hexágonos regulares de aresta
.
Passo 2
Contagem das faces:
- Cada um dos 4 vértices originais gera uma nova face triangular de aresta
. - Cada uma das 4 faces originais (triângulos de aresta
) fica truncada, transformando-se num hexágono (cada vértice daquele triângulo é cortado, ficando 6 arestas de comprimento ).
Logo, o número de faces é
Passo 3
Contagem dos vértices:
Em cada aresta original (são 6 arestas), cortamos nos dois extremos a uma distância de cada vértice, ficando dois pontos por aresta. Esses pontos são exatamente todos os vértices do sólido truncado. Assim,
Em cada aresta original (são 6 arestas), cortamos nos dois extremos a uma distância
Passo 4
Contagem das arestas:
- Cada aresta original gera um segmento central de comprimento
. São 6 desses. - Cada face triangular cortada gera 3 arestas da face nova. Como há 4 faces dessas, temos
arestas novas.
No total
Verificamos que
, conferindo a fórmula de Euler.
Passo 5
Cálculo da área total:
- Área de um triângulo equilátero de aresta
:
Como há 4 triângulos:
Passo 6
- Área de um hexágono regular de aresta
:
um hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado, então
Como há 4 hexágonos:
Passo 7
Somando as contribuições das faces triangulares e hexagonais, a área total da superfície é
Resposta
(a)
,
,
.
(b) .
(b)