10 De cada uma das quatro pontas de um tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro regular de aresta a.
(a) Qual é o número de vértices, faces e arestas desse poliedro?
(b) Calcular a área total da superfície do poliedro.

Passo 1

O enunciado diz que partimos de um tetraedro regular de aresta 3a e, em cada um dos 4 vértices, cortamos um tetraedro regular de aresta a. O sólido resultante é justamente o tetraedro truncado (um sólido arquimediano), cujos vértices, arestas e faces podemos contar usando as ideias de truncamento em poliedros e a fórmula de Euler, e cuja área total de superfície é a soma das áreas de 4 triângulos de aresta a e 4 hexágonos regulares de aresta a.

Passo 2

Contagem das faces:
  • Cada um dos 4 vértices originais gera uma nova face triangular de aresta a.
  • Cada uma das 4 faces originais (triângulos de aresta 3a) fica truncada, transformando-se num hexágono (cada vértice daquele triângulo é cortado, ficando 6 arestas de comprimento a).
    Logo, o número de faces é
F = 4\quad(\text{triângulos})\;+\;4\quad(\text{hexágonos}) \;=\;8.âá

Passo 3

Contagem dos vértices:
Em cada aresta original (são 6 arestas), cortamos nos dois extremos a uma distância a de cada vértice, ficando dois pontos por aresta. Esses pontos são exatamente todos os vértices do sólido truncado. Assim,
V = 6\times 2 = 12.

Passo 4

Contagem das arestas:
  • Cada aresta original gera um segmento central de comprimento 3a - 2a = a. São 6 desses.
  • Cada face triangular cortada gera 3 arestas da face nova. Como há 4 faces dessas, temos 4\times3=12 arestas novas.
    No total
E = 6 + 12 = 18.
Verificamos que V - E + F = 12 - 18 + 8 = 2, conferindo a fórmula de Euler.

Passo 5

Cálculo da área total:
  • Área de um triângulo equilátero de aresta a:
A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Como há 4 triângulos:
4\,A_{\triangle}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2=\sqrt{3}\,a^2.

Passo 6

  • Área de um hexágono regular de aresta a:
    um hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado a, então
A_{\hexagon} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2.
Como há 4 hexágonos:
4\,A_{\hexagon}=4\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2=6\sqrt{3}\,a^2.

Passo 7

Somando as contribuições das faces triangulares e hexagonais, a área total da superfície é
S = \sqrt{3}\,a^2 + 6\sqrt{3}\,a^2 = 7\sqrt{3}\,a^2.

Resposta

(a) V=12, E=18, F=8.
(b) S = 7\sqrt{3}\,a^2.

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