Seja
I=\int_{1}^{2.2} x^{3} e^{x+1} d x
1.1 - Aproximar a integral I, usando a regra dos Trapézios Repetida sobre 7 pontos (efetuar os cálculos com 4 decimais).
1.2 - Estime o erro máximo cometido.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{2.2} x^{3} e^{x+1}\,dx
usando a regra dos trapézios composta com 7 pontos (ou seja, 6 subintervalos), e estimar o erro máximo. O conteúdo é quadratura numérica pelo método dos trapézios. Para isso vamos precisar de:
  • passo h = \frac{2,2-1}{6} = 0,2,
  • pontos x_i = 1 + i\,h para i=0,\dots,6,
  • valores f(x_i) = x_i^3 e^{x_i+1},
  • fórmula composta dos trapézios
T = h\Bigl(\tfrac12 f_0 + f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + \tfrac12 f_6\Bigr),
  • e a estimativa de erro \displaystyle |E_T|\le \frac{(b-a)\,h^2}{12}\max_{[1,2.2]}|f''(x)|.

Passo 2

Calculamos os valores em cada nó x_i e f(x_i)=x_i^3 e^{x_i+1} (quatro casas):
\begin{aligned} x_0&=1{,}0,\quad &f_0&=7{,}3891,\\\ x_1&=1{,}2,\quad &f_1&=15{,}5952,\\\ x_2&=1{,}4,\quad &f_2&=30{,}2476,\\\ x_3&=1{,}6,\quad &f_3&=55{,}1475,\\\ x_4&=1{,}8,\quad &f_4&=95{,}9059,\\\ x_5&=2{,}0,\quad &f_5&=160{,}6843,\\\ x_6&=2{,}2,\quad &f_6&=261{,}2213. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando a fórmula composta dos trapézios:
T = 0{,}2\Bigl(\tfrac12\cdot7{,}3891 + 15{,}5952 + 30{,}2476 + 55{,}1475 + 95{,}9059 + 160{,}6843 + \tfrac12\cdot261{,}2213\Bigr).
Calculando a soma interna:
S = 0{,}5\cdot7{,}3891 + 15{,}5952 + 30{,}2476 + 55{,}1475 + 95{,}9059 + 160{,}6843 + 0{,}5\cdot261{,}2213 = 491{,}8858,
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T = 0{,}2 \times 491{,}8858 = 98{,}3772.

Passo 4

Para estimar o erro, precisamos de
f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\bigl(x^3 e^{x+1}\bigr) = e^{x+1}\bigl(x^3 +6x^2+6x\bigr).
Como f''(x) é crescente em [1,2,2], seu máximo ocorre em x=2{,}2:
M_2 = f''(2{,}2) = e^{3,2}\bigl(2{,}2^3 +6\cdot2{,}2^2 +6\cdot2{,}2\bigr) \approx 1297{,}47.
O erro máximo é dado por
|E_T| \le \frac{(2,2-1)\,h^2}{12}\,M_2 = \frac{1,2\times(0,2)^2}{12}\times1297{,}47 =0{,}004\times1297{,}47 \approx5{,}19.

Resposta

I \approx 98,3772 com erro máximo estimado |E| <=5,19.

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