02 Um cubo de madeira, cujas arestas medem 1 cm , repousa sobre uma superfície horizontal. Iluminado por uma fonte pontual de luz que está
centímetros diretamente acima de um vértice superior, o cubo determina uma sombra na superfície horizontal. A área da sombra, que não inclui a área coberta pelo cubo, é 48 centímetros quadrados.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado descreve um cubo de aresta
cm apoiado no plano horizontal
. Uma fonte pontual de luz está diretamente acima de um vértice superior a uma altura
cm. A projeção do cubo no plano gera uma sombra em forma de quadrado homotético ao quadrado da base. A área dessa sombra, excluindo a região já ocupada pelo cubo (que é
c
), vale
c
. Vamos usar semelhança de triângulos para encontrar
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice iluminado seja
e o cubo ocupe
. A fonte está em
. Ao projetar qualquer ponto
na reta
até
, o parâmetro de semelhança é
Passo 3
Para os vértices do topo
temos
logo a projeção do quadrado de lado
do topo é um quadrado de lado
. Os vértices da base
projetam-se sem ampliação
, reproduzindo o quadrado de lado 1.
Passo 4
A área da região sombreada fora do cubo é
Passo 5
Da equação
segue
, ou seja