02 Um cubo de madeira, cujas arestas medem 1 cm , repousa sobre uma superfície horizontal. Iluminado por uma fonte pontual de luz que está x centímetros diretamente acima de um vértice superior, o cubo determina uma sombra na superfície horizontal. A área da sombra, que não inclui a área coberta pelo cubo, é 48 centímetros quadrados.
Calcule x.

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta 1 cm apoiado no plano horizontal z=0. Uma fonte pontual de luz está diretamente acima de um vértice superior a uma altura x cm. A projeção do cubo no plano gera uma sombra em forma de quadrado homotético ao quadrado da base. A área dessa sombra, excluindo a região já ocupada pelo cubo (que é 1 c m^{2}), vale 48 c m^{2}. Vamos usar semelhança de triângulos para encontrar x.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice iluminado seja (0,0,1) e o cubo ocupe \{0\le x,y\le1,\;0\le z\le1\}. A fonte está em L=(0,0,1+x). Ao projetar qualquer ponto (a,b,c) na reta L\to(a,b,c) até z=0, o parâmetro de semelhança é
t=\frac{1+x}{1+x-c}\,.

Passo 3

Para os vértices do topo c=1 temos
t=\frac{1+x}{x},
logo a projeção do quadrado de lado 1 do topo é um quadrado de lado \frac{1+x}{x}. Os vértices da base c=0 projetam-se sem ampliação t=1, reproduzindo o quadrado de lado 1.

Passo 4

A área da região sombreada fora do cubo é
\Bigl(\frac{1+x}{x}\Bigr)^{2}\;-\;1 \;=\;48.

Passo 5

Da equação
\frac{(1+x)^{2}}{x^{2}}=49
segue \frac{1+x}{x}=7, ou seja
1+x=7x \quad\Longrightarrow\quad 6x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{1}{6}.

Resposta

x = \tfrac{1}{6} cm.

Exercícios relacionados