Um comerciante, para quem o dinheiro vale 5 \% ao mês, oferece determinado produto por 3 prestações mensais iguais a R$ 100,00, a primeira paga no ato da compra.
(a) Que valor o comerciante deve cobrar por esse produto, no caso de pagamento à vista?
(b) Se um consumidor desejar pagar o produto em três prestações mensais iguais, mas sendo a primeira paga um mês após a compra, qual deve ser o valor das parcelas?
Utilize, se desejar, os seguintes valores para as potências de 1,05: 1,05^{2}=1,1025 ; 1,05^{-1}=0,9524 ; 1,05^{-2}=0,9070.

Passo 1

O enunciado envolve avaliação de fluxos de pagamento mensais e taxa de juros de 5\% ao mês. Precisamos usar o conceito de valor presente de pagamentos futuros (desconto) para comparar o pagamento à vista com as prestações. No item (a) vamos descontar as três prestações de R$ 100,00 (pagas em t=0,1,2) até o momento da compra. No item (b) vamos achar uma nova prestação X paga em t=1,2,3 cujo valor presente seja igual ao valor obtido no item (a).

Passo 2

Para o item (a), calculamos o valor presente V_0 de
\displaystyle 100 pago em t=0,
\displaystyle 100 pago em t=1 descontado por 1{,}05^{-1},
\displaystyle 100 pago em t=2 descontado por 1{,}05^{-2}.
Usando os valores fornecidos:
V_0 = 100 + 100 \times 1{,}05^{-1} + 100 \times 1{,}05^{-2} = 100 + 100 \times 0{,}9524 + 100 \times 0{,}9070.

Passo 3

Calculando numericamente:
V_0 = 100 + 95{,}24 + 90{,}70 = 285{,}94.
Portanto, o preço à vista que o comerciante deve cobrar é R$ 285,94.

Passo 4

No item (b), queremos prestações iguais X pagas em t=1,2,3 cujo valor presente seja V_0=285{,}94. O valor presente dessas três prestações é
V_0 = X\bigl(1{,}05^{-1} + 1{,}05^{-2} + 1{,}05^{-3}\bigr).
Já temos 1{,}05^{-1}=0{,}9524, 1{,}05^{-2}=0{,}9070 e \displaystyle 1{,}05^{-3}=1{,}05^{-2}\times1{,}05^{-1}=0{,}9070\times0{,}9524\approx0{,}8638.

Passo 5

Somando os descontos:
1{,}05^{-1} + 1{,}05^{-2} + 1{,}05^{-3} = 0{,}9524 + 0{,}9070 + 0{,}8638 = 2{,}7232.
Logo,
X = \frac{V_0}{2{,}7232} = \frac{285{,}94}{2{,}7232} \approx 104{,}96.

Resposta

(a) R$ 285,94
(b) Prestações mensais de aproximadamente R$ 104,96.

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