03 Um cone circular reto tem raio da base 1 e altura 3. Um cubo é inscrito no cone de modo que uma face do cubo está contida na base do cone. Qual a medida da aresta do cubo?
Passo 1
O enunciado descreve um cone circular reto de raio da base
e altura
. Inscrevemos nesse cone um cubo de aresta
de modo que uma face do cubo está inteiramente contida na base do cone. O objetivo é encontrar
. Vamos usar geometria espacial e semelhança de triângulos (raio do cone varia linearmente com a altura).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo
é o eixo de simetria do cone, o plano
contém a base do cone e o vértice do cone está em
. Em qualquer altura
medida a partir da base, o raio da seção do cone é dado por semelhança de triângulos:
Passo 3
Colocamos o cubo de aresta
com sua face inferior em
e centrada no eixo. Assim, os vértices superiores do cubo têm coordenadas
A distância de cada vértice superior ao eixo é
Passo 4
Para que esses vértices toquem exatamente a superfície lateral do cone, a distância
ao eixo deve igualar o raio do cone na altura
. Logo, impomos
Passo 5
Resolvendo para
: