03 Um cone circular reto tem raio da base 1 e altura 3. Um cubo é inscrito no cone de modo que uma face do cubo está contida na base do cone. Qual a medida da aresta do cubo?

Passo 1

O enunciado descreve um cone circular reto de raio da base 1 e altura 3. Inscrevemos nesse cone um cubo de aresta a de modo que uma face do cubo está inteiramente contida na base do cone. O objetivo é encontrar a. Vamos usar geometria espacial e semelhança de triângulos (raio do cone varia linearmente com a altura).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo z é o eixo de simetria do cone, o plano z=0 contém a base do cone e o vértice do cone está em (0,0,3). Em qualquer altura z medida a partir da base, o raio da seção do cone é dado por semelhança de triângulos:
r(z)=1-\frac{z}{3}.

Passo 3

Colocamos o cubo de aresta a com sua face inferior em z=0 e centrada no eixo. Assim, os vértices superiores do cubo têm coordenadas
\Bigl(\pm \frac{a}{2},\,\pm \frac{a}{2},\,a\Bigr).
A distância de cada vértice superior ao eixo é
d=\sqrt{\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2}} =\frac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para que esses vértices toquem exatamente a superfície lateral do cone, a distância d ao eixo deve igualar o raio do cone na altura z=a. Logo, impomos
\frac{a}{\sqrt{2}} =r(a) =1-\frac{a}{3}.

Passo 5

Resolvendo para a:
\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{a}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad a\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{3}\Bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{1}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{1}{3}} =\frac{3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} =\frac{9\sqrt{2}-6}{7}.

Resposta

a=\frac{9\sqrt{2}-6}{7}.

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