Q6 No tetraedro A B C D, a aresta A B mede 3 cm . A área da face A B C é 15 \mathrm{~cm}^{2} e a área da face A B D é 12 \mathrm{~cm}^{2}. Estas duas faces formam um ângulo de 30^{\circ}. Calcule o volume do tetraedro \mathrm{em} \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tetraedro ABCD com a aresta AB=3 cm. A área da face ABC é 15 cm ^2 e a da face ABD é 12 cm ^2. O ângulo diedro entre essas duas faces ao longo de AB é 30^\circ. Vamos posicionar A, B, C e D em coordenadas no espaço, usar a fórmula de área de triângulo para fixar C e D, obter o ângulo diedro via normais aos planos e finalmente calcular o volume por
V = \frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\bigr|.

Passo 2

Escolhemos
A = (0,0,0),\quad B = (3,0,0),
e colocamos C no plano z=0 de modo que
\text{área}(ABC) = \tfrac12\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\lvert = 15.á
Como \overrightarrow{AB}=(3,0,0) e \overrightarrow{AC}=(x,y,0), o módulo do produto vetorial é \lvert3y\rvert=30, portanto y=10. Para simplificar, tomamos x=0. Assim
C = (0,10,0).

Passo 3

Agora colocamos
D = (u,v,w)
de modo que
\text{área}(ABD) = \tfrac12\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr\lvert = 12á
implica \bigl\lvert3\sqrt{v^2+w^2}\bigr\lvert =24, isto é
v^2 + w^2 = 64.
Os vetores normais aos planos são
\mathbf{n}_{ABC} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,0,30), \quad \mathbf{n}_{ABD} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} = (0,-3w,3v).
O cosseno do ângulo diedro é dado por
\cos 30^\circ = \frac{\lvert \mathbf{n}_{ABC}\!\cdot\!\mathbf{n}_{ABD}\rvert} {\|\mathbf{n}_{ABC}\|\;\|\mathbf{n}_{ABD}\|} = \frac{\lvert 0\cdot0+0\cdot(-3w)+30\cdot3v\rvert}{30\cdot24} = \frac{\lvert v\rvert}{8}.
Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}, segue \lvert v\rvert/8=\sqrt3/2, logo v=4\sqrt3. Então w^2=64-48=16, escolhemos w=4. O valor de u não afeta volume, podemos tomar u=0. Assim
D = (0,\;4\sqrt3,\;4).

Passo 4

Calculamos o volume por
V = \frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\bigr|.
Aqui
\overrightarrow{AB}=(3,0,0),\quad \overrightarrow{AC}=(0,10,0),\quad \overrightarrow{AD}=(0,4\sqrt3,4),
então
\det\begin{pmatrix}3&0&0\\\ 0&10&0\\\ 0&4\sqrt3&4\end{pmatrix} =3\cdot\det\begin{pmatrix}10&0\\\ 4\sqrt3&4\end{pmatrix} =3\,(10\cdot4-0)=120.
Portanto
V = \frac{120}{6} = 20.

Resposta

O volume do tetraedro é 20 cm ^3.

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