Q6 No tetraedro A B C D, a aresta A B mede 3 cm . A área da face A B C é 15 \mathrm{~cm}^{2} e a área da face A B D é 12 \mathrm{~cm}^{2}. Estas duas faces formam um ângulo de 30^{\circ}. Calcule o volume do tetraedro \mathrm{em} \mathrm{cm}^{3}.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um tetraedro ABCD com a aresta AB=3 cm. A área da face ABC é 15 cm^2 e a da face ABD é 12 cm^2. O ângulo diedro entre essas duas faces ao longo de AB é 30^\circ. Vamos posicionar A, B, C e D em coordenadas no espaço, usar a fórmula de área de triângulo para fixar C e D, obter o ângulo diedro via normais aos planos e finalmente calcular o volume por
V = \frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\bigr|.
Como \overrightarrow{AB}=(3,0,0) e \overrightarrow{AC}=(x,y,0), o módulo do produto vetorial é \lvert3y\rvert=30, portanto y=10. Para simplificar, tomamos x=0. Assim
Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}, segue \lvert v\rvert/8=\sqrt3/2, logo v=4\sqrt3. Então w^2=64-48=16, escolhemos w=4. O valor de u não afeta volume, podemos tomar u=0. Assim
D = (0,\;4\sqrt3,\;4).
Passo 4
Calculamos o volume por
V = \frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\bigr|.