P9 Seja A B C D um tetraedro com A D=B D=5, C D=2 \sqrt{6} e B \widehat{C} D=C \widehat{D} A=A \widehat{D} B=90^{\circ}. Calcule
(a) a tangente do ângulo entre as faces A B C e DBC;
(b) a distância do vértice D à face A B C.
(c) o raio da esfera circunscrita (esfera que contém os vértices do tetraedro).
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro ABCD com \;AD=BD=5,\;CD=2\sqrt6
e ângulos retos \angle BCD=90^\circ,\;\angle CDA=90^\circ,\;\angle ADB=90^\circ.
Queremos
(a) \tan do ângulo diedro entre as faces ABC e DBC,
(b) distância de D à face ABC,
(c) raio da esfera circunscrita.
Para isso, vamos colocar D na origem e usar coordenadas em \mathbb R^3.
Passo 2
Escolhemos
D=(0,0,0),\quad A=(5,0,0),\quad B=(0,5,0)
pois AD\perp BD e ambos valem 5.
Seja C=(x,y,z). Das condições