P9 Seja A B C D um tetraedro com A D=B D=5, C D=2 \sqrt{6} e B \widehat{C} D=C \widehat{D} A=A \widehat{D} B=90^{\circ}. Calcule
(a) a tangente do ângulo entre as faces A B C e DBC;
(b) a distância do vértice D à face A B C.
(c) o raio da esfera circunscrita (esfera que contém os vértices do tetraedro).

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro ABCD com \;AD=BD=5,\;CD=2\sqrt6
e ângulos retos \angle BCD=90^\circ,\;\angle CDA=90^\circ,\;\angle ADB=90^\circ.
Queremos
(a) \tan do ângulo diedro entre as faces ABC e DBC,
(b) distância de D à face ABC,
(c) raio da esfera circunscrita.
Para isso, vamos colocar D na origem e usar coordenadas em \mathbb R^3.

Passo 2

Escolhemos
D=(0,0,0),\quad A=(5,0,0),\quad B=(0,5,0)
pois AD\perp BD e ambos valem 5.
Seja C=(x,y,z). Das condições
  1. CD\perp AD\implies(x,y,z)\cdot(5,0,0)=0\implies x=0.
  2. \|CD\|^2=x^2+y^2+z^2=24.
  3. \angle BCD=90^\circ\implies (C-B)\cdot(D-C)=0.
    Com x=0 a terceira dá
z^2+y(y-5)=0.
Usando y^2+z^2=24 nesta equação vem y=24/5 e então
z^2=24-(24/5)^2=\frac{24}{25},\quad z=\frac{2\sqrt6}{5}.
Logo
C=\Bigl(0,\frac{24}{5},\frac{2\sqrt6}{5}\Bigr).

Passo 3

Vetor normal à face ABC:
n_1=(B-A)\times(C-A) =(-5,5,0)\times\bigl(-5,4{,}8,\tfrac{2\sqrt6}{5}\bigr) =(2\sqrt6,\,2\sqrt6,\,1).
Normal à face DBC:
n_2=(B-D)\times(C-D) =(0,5,0)\times\Bigl(0,4{,}8,\tfrac{2\sqrt6}{5}\Bigr) =(2\sqrt6,\,0,\,0).
O ângulo diedro \theta entre as faces satisfaz
\tan\theta =\frac{\|\,n_1\times n_2\|}{n_1\cdot n_2} =\frac{10\sqrt6}{24} =\frac{5\sqrt6}{12}.

Passo 4

A equação da face ABC é
2\sqrt6\,x+2\sqrt6\,y+z-10\sqrt6=0,
pois ela passa por A=(5,0,0). A distância de D=(0,0,0) a este plano é
d =\frac{\bigl|0+0+0-10\sqrt6\bigr|}{\sqrt{(2\sqrt6)^2+(2\sqrt6)^2+1^2}} =\frac{10\sqrt6}{7}.

Passo 5

O centro O=(x,y,z) da esfera circunscrita satisfaz \|O-A\|=\|O-B\|=\|O-C\|=\|O-D\|.
Das duas primeiras igualdades obtemos
x=\frac{5}{2},\quad y=\frac{5}{2}.
Da terceira segue z=0.
Assim
O=\Bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2},0\Bigr),
e o raio é
R=\|O-D\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^2}=\frac{5}{\sqrt2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{5\sqrt6}{12}.
(b) \displaystyle \frac{10\sqrt6}{7}.
(c) \displaystyle \frac{5}{\sqrt2}.

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