05 Seja A B C um triângulo de lados \overline{B C}=a, \overline{C A}=b e \overline{A B}=c.
(a) Prove que a área do triângulo A B C é igual a \frac{1}{2} b c \operatorname{sen} \hat{A}.
(b) Prove que a medida da bissetriz interna relativa ao vértice A é igual a
\frac{2 b c \cos \hat{A} / 2}{b+c}
Passo 1
Temos um triângulo ABC com lados \overline{BC}=a, \overline{CA}=b e \overline{AB}=c.
(a) Queremos mostrar que a área vale \tfrac12\,b\,c\,\operatorname{sen}\hat A.
(b) Queremos mostrar que a bissetriz interna relativa a A, de comprimento l_{a}, satisfaz
Para (b), desenhe a bissetriz AD de \hat A, dividindo o lado BC em BD e DC.
Pela razão de divisão da bissetriz interna (teorema do bissetriz),
BD : DC \;=\; c : b.
Como BD+DC=a, segue
BD = \frac{a\,c}{b+c}, \quad DC = \frac{a\,b}{b+c}.
Passo 4
Vamos expressar a área de ABC somando as áreas de ABD e ADC. Em ambos os pequenos triângulos, a altura relativa a AD forma ângulos \tfrac{\hat A}{2}. Assim,