05 Seja A B C um triângulo de lados \overline{B C}=a, \overline{C A}=b e \overline{A B}=c.
(a) Prove que a área do triângulo A B C é igual a \frac{1}{2} b c \operatorname{sen} \hat{A}.
(b) Prove que a medida da bissetriz interna relativa ao vértice A é igual a
\frac{2 b c \cos \hat{A} / 2}{b+c}

Passo 1

Temos um triângulo ABC com lados \overline{BC}=a, \overline{CA}=b e \overline{AB}=c.
(a) Queremos mostrar que a área vale \tfrac12\,b\,c\,\operatorname{sen}\hat A.
(b) Queremos mostrar que a bissetriz interna relativa a A, de comprimento l_{a}, satisfaz
l_{a}=\frac{2\,b\,c\,\cos\bigl(\tfrac{\hat A}{2}\bigr)}{b+c}.
O conteúdo usado será: fórmula da área por dois lados e seno do ângulo entre eles, e decomposição da área em duas partes via bissetriz.

Passo 2

Para (a), considere b e c como lados que se encontram em A. A área de um triângulo, dada por dois lados e o ângulo entre eles, é
\text{Área} = \tfrac12 \times (\text{lado}_1)\times(\text{lado}_2)\times\operatorname{sen}(\text{ângulo entre eles}).Áâ
Aqui o ângulo formado por b e c é \hat A. Logo
\text{Área}(ABC)=\frac12\,b\,c\,\operatorname{sen}\hat A.Á

Passo 3

Para (b), desenhe a bissetriz AD de \hat A, dividindo o lado BC em BD e DC.
Pela razão de divisão da bissetriz interna (teorema do bissetriz),
BD : DC \;=\; c : b.
Como BD+DC=a, segue
BD = \frac{a\,c}{b+c}, \quad DC = \frac{a\,b}{b+c}.

Passo 4

Vamos expressar a área de ABC somando as áreas de ABD e ADC. Em ambos os pequenos triângulos, a altura relativa a AD forma ângulos \tfrac{\hat A}{2}. Assim,
\text{Área}(ABD)=\tfrac12\;c\;l_{a}\;\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}, \quad \text{Área}(ADC)=\tfrac12\;b\;l_{a}\;\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}.ÁÁ
Somando,
\text{Área}(ABC) =\frac12\,l_{a}\,\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\,(b+c).Á

Passo 5

Mas da parte (a) já temos
\text{Área}(ABC) =\frac12\,b\,c\,\operatorname{sen}\hat A =\frac12\,b\,c\;2\,\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\,\cos\frac{\hat A}{2} = b\,c\,\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\,\cos\frac{\hat A}{2}.Á
Igualando as duas expressões para \text{Área}(ABC)Á:
b\,c\,\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\,\cos\frac{\hat A}{2} =\frac12\,l_{a}\,\operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\,(b+c).
Como \operatorname{sen}\frac{\hat A}{2}\neq0, cancelamos esse fator e obtemos
b\,c\,\cos\frac{\hat A}{2} =\frac12\,l_{a}\,(b+c) \quad\Longrightarrow\quad l_{a} =\frac{2\,b\,c\,\cos\frac{\hat A}{2}}{b+c}.

Resposta

(a) \displaystyle \text{Área}(ABC)=\tfrac12\,b\,c\,\operatorname{sen}\hat A.Á
(b) \displaystyle l_{a}=\frac{2\,b\,c\,\cos\bigl(\tfrac{\hat A}{2}\bigr)}{b+c}.

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