[03] Verdadeiro ou falso? Justifique.
Num sistema de aritmética de ponto flutuante se satisfaz a propriedade distributiva
Num sistema de aritmética de ponto flutuante se satisfaz a propriedade distributiva
Passo 1
O enunciado pergunta se, num sistema de aritmética de ponto flutuante, vale sempre a propriedade distributiva
O conteúdo aqui é aritmética de ponto flutuante (formato IEEE ou similar), que introduz arredondamentos a cada operação, o que pode violar identidades algébricas válidas nos reais.
Passo 2
Em ponto flutuante representamos cada número em base
, com
dígitos na mantissa e expoente ajustado, e após cada soma, subtração, multiplicação ou divisão aplicamos uma função de arredondamento (por exemplo, “round to nearest”). Esses arredondamentos introduzem erros de unidade de máquina, de modo que nem sempre
nem
são exatas no sentido matemático. Consequentemente a distributiva pode falhar:
Passo 3
Mostramos um contraexemplo em ponto flutuante decimal com
,
dígitos de mantissa e arredondamento para o mais próximo:
Escolhemos
- Calculemos
:
Alinhando expoentes,
Arredondando a 4 dígitos:
- Agora
:
(já tem 4 dígitos, sem mais arredondamento).
- Por outro lado, façamos
e separadamente:
Somando e arredondando a 4 dígitos:
- Conclusão do contraexemplo:
Logo a distributiva falha.
Resposta
Falso.