Calcular
3.1- :alcular
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x d x aplicando a regra de Simpson com n=6. Tra balhar com quatro casas decimais. Comparar com o resultado obtido pela fórmula dos trapézios.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\pi/2}\cos^3 x\,dx
usando a regra composta de Simpson com n=6 subintervalos e, em seguida, comparar com o resultado obtido pela regra dos trapézios com o mesmo n. Para isso vamos precisar:
  • determinar o passo h=(b-a)/n=(\pi/2-0)/6=\pi/12;
  • calcular os pontos x_i=0+i\,h e os valores f_i=\cos^3(x_i);
  • aplicar as fórmulas compostas de Simpson e dos trapézios;
  • trabalhar com quatro casas decimais nos resultados finais.

Passo 2

Calculamos os pontos e os valores de f_i=\cos^3(x_i), para i=0,1,\dots,6, usando h=\pi/12:
\begin{aligned} x_0&=0,\quad &f_0&=\cos^3(0)=1.0000,\\\ x_1&=\tfrac{\pi}{12},\quad &f_1&=\cos^3\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)\approx0.9012,\\\ x_2&=\tfrac{\pi}{6},\quad &f_2&=\cos^3\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=0.6495,\\\ x_3&=\tfrac{\pi}{4},\quad &f_3&=\cos^3\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0.3536,\\\ x_4&=\tfrac{\pi}{3},\quad &f_4&=\cos^3\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=0.1250,\\\ x_5&=\tfrac{5\pi}{12},\quad&f_5&=\cos^3\bigl(\tfrac{5\pi}{12}\bigr)\approx0.0173,\\\ x_6&=\tfrac{\pi}{2},\quad &f_6&=\cos^3\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.0000. \end{aligned}

Passo 3

Aplicamos a regra composta de Simpson
S_6=\frac{h}{3}\Bigl[f_0+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+f_6\Bigr].
Substituindo h=\pi/12 e os f_i:
\begin{aligned} f_1+f_3+f_5&=0.9012+0.3536+0.0173=1.2721,\\\ f_2+f_4&=0.6495+0.1250=0.7745, \end{aligned}
S_6=\frac{\pi/12}{3}\bigl[1.0000+4\cdot1.2721+2\cdot0.7745+0.0000\bigr] =\!0.0872665\times7.6374\approx0.6665.

Passo 4

Aplicamos a regra composta dos trapézios
T_6=\frac{h}{2}\Bigl[f_0+2\sum_{i=1}^{5}f_i+f_6\Bigr] =\frac{\pi/12}{2}\bigl[1.0000+2(2.0466)+0.0000\bigr] \approx0.6667,
onde \sum_{i=1}^5 f_i=0.9012+0.6495+0.3536+0.1250+0.0173=2.0466.

Passo 5

Comparando com o valor exato \int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx=2/3\approx0.6667, vemos que:
  • Simpson dá 0.6665 (erro \approx-1{,}7\times10^{-4}).
  • Trapézio dá 0.6667 (erro \approx+3{,}3\times10^{-5}).

Resposta

Simpson n=6: 0.6665
Trapézio n=6: 0.6667

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