Usando o método dos gradientes, obtenha a solução do sistema:
com erro relativo inferior a
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando o método dos gradientes (steepest descent) até que o erro relativo seja inferior a
. Vamos definir a função quadrática
cujo gradiente é
Cada iteração do método usa
onde
e
Para medir o erro relativo, usaremos
onde
é a solução exata.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução exata
de
por eliminação simples. Das equações
segue
e
. Logo
e
.
Passo 3
Escolhemos
. Então
O erro relativo é
Passo 4
Calculamos a segunda iteração. Primeiro
O erro relativo agora é
Passo 5
Terceira iteração:
O erro relativo final é
Resposta
obtido em três iterações, com erro relativo inferior a
.