Usando o método dos gradientes, obtenha a solução do sistema:
\left(\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)\binom{x_{1}}{x_{2}}\binom{5}{4}=\binom{0}{0}
com erro relativo inferior a 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
A x = b,\quad A = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}5\\\ 4\end{pmatrix},
usando o método dos gradientes (steepest descent) até que o erro relativo seja inferior a 10^{-3}. Vamos definir a função quadrática
f(x) = \tfrac12\,x^T A x - b^T x,
cujo gradiente é
\nabla f(x) = A x - b.
Cada iteração do método usa
x^{k+1} = x^k - \alpha_k\,r^k,
onde r^k = \nabla f(x^k)=A x^k - b e
\alpha_k = \frac{(r^k)^T r^k}{(r^k)^T A\,r^k}.
Para medir o erro relativo, usaremos
\text{ER}_k = \frac{\|x^k - x^*\|}{\|x^*\|},
onde x^* é a solução exata.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução exata x^* de A x = b por eliminação simples. Das equações
4x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 + 3x_2=4
segue x_2=1 e x_1=(5-1)/4=1. Logo
x^* = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
e \|x^*\| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.

Passo 3

Escolhemos x^0=(0,0)^T. Então
r^0 = A x^0 - b = -b = \begin{pmatrix}-5\\\ -4\end{pmatrix}, \qquad (r^0)^T r^0 = 25+16=41,
A\,r^0 = \begin{pmatrix}-24\\\ -17\end{pmatrix}, \qquad (r^0)^T(A\,r^0)=120+68=188,
\alpha_0 = \frac{41}{188}\approx0{,}2181,
x^1 = x^0 - \alpha_0\,r^0 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} -0{,}2181\begin{pmatrix}-5\\\ -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1{,}0904\\\ 0{,}8723\end{pmatrix}.
O erro relativo é
x^1 - x^*=\begin{pmatrix}0{,}0904\\\ -0{,}1277\end{pmatrix}, \quad \|x^1-x^*\|\approx0{,}1564, \quad \text{ER}_1\approx\frac{0{,}1564}{\sqrt2}\approx0{,}1106>10^{-3}.

Passo 4

Calculamos a segunda iteração. Primeiro
r^1 = A x^1 - b =\begin{pmatrix}0{,}2339\\\ -0{,}2926\end{pmatrix}, \quad (r^1)^T r^1\approx0{,}1403,
A\,r^1=\begin{pmatrix}0{,}6432\\\ -0{,}6438\end{pmatrix}, \quad (r^1)^T(A\,r^1)\approx0{,}3387,
\alpha_1=\frac{0{,}1403}{0{,}3387}\approx0{,}4142,
x^2 = x^1 - \alpha_1 r^1 \approx\begin{pmatrix}0{,}9937\\\ 0{,}9936\end{pmatrix}.
O erro relativo agora é
x^2 - x^*=\begin{pmatrix}-0{,}0063\\\ -0{,}0064\end{pmatrix}, \quad \|x^2-x^*\|\approx0{,}0090, \quad \text{ER}_2\approx\frac{0{,}0090}{\sqrt2}\approx0{,}0064>10^{-3}.

Passo 5

Terceira iteração:
r^2 = A x^2 - b \approx\begin{pmatrix}-0{,}0318\\\ -0{,}0255\end{pmatrix}, \quad (r^2)^T r^2\approx0{,}00166,
A\,r^2\approx\begin{pmatrix}-0{,}1526\\\ -0{,}1084\end{pmatrix}, \quad (r^2)^T(A\,r^2)\approx0{,}00761,
\alpha_2=\frac{0{,}00166}{0{,}00761}\approx0{,}2183,
x^3 = x^2 - \alpha_2 r^2 \approx\begin{pmatrix}1{,}0006\\\ 0{,}9992\end{pmatrix}.
O erro relativo final é
x^3 - x^* \approx\begin{pmatrix}0{,}0006\\\ -0{,}0008\end{pmatrix}, \quad \|x^3-x^*\|\approx0{,}00102, \quad \text{ER}_3\approx\frac{0{,}00102}{\sqrt2}\approx0{,}00072<10^{-3}.

Resposta

x \approx \begin{pmatrix}1{,}0006\\\ 0{,}9992\end{pmatrix},
obtido em três iterações, com erro relativo inferior a 10^{-3}.

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